ЛОГИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ И ШКОЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КОМПЕТЕНЦИИ

В последнее время в повседневной жизни, к сожалению, часто приходится сталкиваться с фактами пугающей неспособности ряда специалистов различных отраслей решать, казалось бы, несложные профессиональные задачи. Параллельно с этим наблюдается неумение и нежелание большой части студентов и школьников учиться математике. Ещѐ в 90-е годы А.П. Калошина и Г.И. Харичева писали по этому поводу « Трудности, возникающие у студентов при изучении математики обусловлены не столько специфической сложностью самого предмета, сколько недостаточной сформированностью у них общих логических приѐмов мышления». То есть, проблема эта существовала и раньше. Однако, в последние годы « благодаря» активному внедрению в студенческую и школьную жизнь различных устройств (айфонов, смартфонов, и т.д) она приобрела почти катастрофический характер. Многие студенты и школьники и не пытаются решать даже самые простые задачи, «залезая» по любому поводу в Интернет. При этом действия свои они объясняют   следующим образом:

«Я собираюсь быть строителем (конструктором, врачом, директором завода, специалистом сотовой связи…) и ваши интегралы   (уравнения, ряды, производные….) мне не нужны». Слова великого учѐного о том, что « математику хотя бы для того нужно учить, что она ум в порядок приводит», похоже, сегодня уже не актуальны.

В Санкт- Петербургском Национальном Исследовательском Университете ИТМО недавно было проведено исследование на тему «Логические умения и школьные математические компетенции». В рамках этого исследования студентам был предложен небольшой тест с рядом математических задач, которые выявляют мыслительное умение, восприятие и память учащегося. Целью теста являлось выяснение того, насколько современное школьное образование способствует формированию у учащихся способностей логически мыслить, находить и устанавливать причинно- следственные связи между объектами, выделять существенное в изучаемом предмете и классифицировать предметы по основным признакам. Математические задачи, которые должны были активировать мыслительную деятельность, были разделены на следующие виды:

а) задачи, рассчитанные на воспроизведение (при их решении опираются на математическую память и внимание)

б) задачи, решение которых приводит к новой мысли в) творческие задачи.

Эти виды задач были представлены так: текстовые задачи, задачи на логические рассуждения, на ассоциативное мышление, на построение доказательства, на обобщение и выделение существенных признаков, на нахождения ошибки в доказательстве, задачи для усвоения математических понятий.

Текстовые задачи были использованы в тесте, чтобы проверить, увидеть, что учащийся умеет выделять: главный вопрос задачи, понимает план решения задачи, понимает условия задачи и возможность довести задачу до конца.

Текстовая задача – это описание некоторой проблемы или проблемной ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику того или иного компонента ситуации. Эти задачи постоянно возникают при изучении разных предметов и в жизни людей.

Задачи на логические рассуждения. Логическое мышление мобилизует работу всех компонентов усвоения –    внимания, памяти, воображения, что составляет основу интеллекта учащихся, стимулируя тем самым и его логическое развитие. Мышление выступает в этих задачах в форме отвлеченных понятий и рассуждений, отражающих существенные стороны окружающей действительности, закономерные связи между ними. Овладение в ходе усвоения основ наук понятиями, законами, теориями. Эти задачи позволяют развить абстрактно-теоретическое мышление, безгранично расширить сферу познания в математике. Решение этих задач приводит к тому, что учащийся умеет аргументированно выражать свою мысль и ее доказывать, и с помощью логических рассуждений довести ее до решения проблемы (задачи).

Задачи на ассоциативное мышление. Образный аспект в задачах – уметь увидеть разнообразные формы в их пространственном и плоском изображении, распознать конфигурации, представлять себе вид графика функции, зная ее свойства, связывать образное представление с тождественными преобразованиями. Образный аспект способствует развитию ассоциативного мышления и помогает почувствовать целостность изучаемых объектов. Ассоциативное мышление помогает накапливать новые знания в пограничных сферах науки, распознать проблемы не имеющие явной принадлежности к той или иной области знаний. Так же ассоциативное –   образное мышление в задачах способствует развитие памяти и внимания.

Задачи на построение доказательства в математике. Задачи на доказательство оказывают существенное влияние на развитие мышление учащихся. Именно при выполнении доказательства оттачивается логическое мышление учеников, разрабатываются логические схемы решения задач, возникает потребность учащихся в обосновании математических фактов. Геометрические задачи формируют алгоритмическое мышление, аналитико-синтетическую деятельность, гибкость и конструктивность мышления. Задачи на построение и доказательства развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям. Посредством задач на построение более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах.

Задачи отыскания ошибок в доказательстве приучают обращать внимание на особо тонкие места в логических рассуждениях, помогают различать во многом сходные понятия, приучают к точности суждений и математической строгости.

Для прохождения тестирования были выбраны две группы студентов. Первая группа состояла преимущественно из  бюджетников,  средний балл ЕГЭ  в группе  составлял 75,4 баллов, вторая  группа - в основном, из контрактников, средний балл ЕГЭ-52,9. Варианты теста приведены ниже. Результаты получились следующие:

Таблица 1  

Первая группа

Таблица 2  

Вторая группа

Наиболее распространѐнными ошибками, которые наблюдались почти у всех тестируемых были следующие:

- Теорему Пифагора и теорему о сумме углов треугольника считают аксиомами.

-   Аксиому сложения вероятностей и аксиому параллельных прямых считают теоремами.

-    Во втором варианте задачи № 5 не было ни одного верного ответа. Большинство студентов верно отметили пункты a и d, но не обратили внимания на пункт g.

-   Тестируемые из второй группы практически не имеют навыков доказывать даже элементарные вещи.

-    К последней задаче вторая группа студентов почти не приступала.

По результатам тестирования  можно сделать вывод, что студенты, которым предстоит двухгодичное изучение высшей математики, в целом весьма слабо освоили школьные математические компетенции, практически не имеют навыков доказательства, обобщения, систематизации материала и построения цепочки рассуждений. В то же время, хочется отметить, что несложные логические задачи вполне под силу даже самым слабым студентам (задачу № 2 решили даже те, у кого было 33 балла по ЕГЭ). В этом случае для успешного освоения программы по математике можно предложить следующее:

-    разбирать на семинарских занятиях доказательства небольших и несложных теорем из курса линейной алгебры (например, свойство линейно зависимых векторов ) и  математического анализа ( необходимое и достаточное условие экстремума, теорема Лагранжа)

-   разобрать доказательство теоремы, а затем предложить студентам самим сформулировать еѐ.

-начинать изучение темы с самых простых и наглядных задач

-   предлагать студентам определять сходство и различие тех или иных математических объектов ( матрица и вектор, вектор и отрезок, интеграл неопределѐнный и определѐнный)

-дать студентам словесную характеристику некоторого математического объекта, а потом предложить им дать этому объекту название.

Возможно, эти приѐмы сделают курс высшей математики более понятным для современных студентов и позволят избежать лишних двоек и отчислений.

Список литературы

1.      Брадис В.М. Ошибки в математических рассуждениях. М.: Учпедгиз. 1959.

2.      Субботин И.Я., Якир М. С. Обучающая функция ошибки // Математика в школе. № 2-3. 1992.

3.      Никольская И.JI. Учимся рассуждать и доказывать: кн. для учащихся 6-10 ют. сред.шк. / И.JI. Никольская, Е.Е Семѐнова -М.: Просвещение 1989.- 192с.: ил.

4.      Хитрина Н. А. О применении контрпримеров / Н. А.Хитрина // Математика в школе.- 1974.-№6. -С. 8-14.

5.      Крутецкий В.А. Основы педагогической психологии. М.: Просвещение.-1996.-214с.