Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

ОБЗОР ОСНОВНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ, ПРИМЕНЯЕМЫХ В ЭКОНОМИКЕ

Авторы:
Город:
Саранск
ВУЗ:
Дата:
31 декабря 2015г.

Использование математических методов в экономике позволяет выделить и формально описать наиболее существенные связи, сделать выводы адекватные изучаемому объекту, индуктивным путём оценить вид и параметры зависимостей, отображающих данные наблюдений. Вместе с тем, абстрактный характер математического языка позволяет корректно и сжато формулировать экономические понятия и теоретические положения.

Многие экономические явления представляют собой устойчивые количественные закономерности, подверженные  действию разнообразных факторов. Для их изучения составляют математические модели, одной из разновидностей которых являются функции: функция объёма затрачиваемых ресурсов и объёма выпуска продукции; функция полезности набора из нескольких товаров и т.п. Особо можно отметить мультипликативные функции, зависимая переменная которых является произведением факторных переменны х, обращающих её в нуль при отсутствии воздействия хотя бы одного фактора. Это, например, производственная функция вида , частным случаем которой является функция Кобба-Дугласа


При исследовании поведения спроса от цены товара; при установлении характера изменения уровня потребления в зависимости от уровня до ходов и др. составляют модели, использующие предельные показатели.

Смоделируем объем производимой продукции за единицу времени от объемах затраченного ресурса, например, от количества человеческого труда, выраженного в виде человеко-часов или числа работников в виде дифференцируемой однофакторной производственной функции y = f (x) . Так как f (а +1) ≈ f (a) + f ¢(a) ,где а – число работников фирмы на текущий момент, то  f ¢(a)–   добавочная продукция, производимая новым сотрудником предприятия за единицу времени.

Если с – цена единицы продукции, а р - зарплата работника за единицу времени и с∙ f ¢(a) > p, то фирма может нанять еще одного сотрудника, который принесет прибыли больше, чем фирма на него затратит. Это правило называется золотым правилом экономики и имеет универсальный характер.

В      качестве      примера      многофакторных      моделей      можно       рассмотреть      функцию       прибыли

где  x1, x2 ,..., xm – количества производимых   m разновидностей товара,P1, P2,..., Pm –   цены   соответствующих товаров   (все

Pi –  постоянные величины),C = S(x1, x2,..., xm) – затраты на производство товаров (функция издержек).
Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных, если  (при отсутствии других ограничений). Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных xi :


    Полученная система уравнений реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара.

    Для определения мгновенного расхода воды, мгновенного энергопотребления, мгновенной производственной мощности и других показателей также применяется аппарат дифференциального  исчисления. А при определении дневной выработки по функции производительности труда; объема производства; определении экономической эффективности капитальных вложений; суммарного количества оборудования, выпущенного за промежуток времени и т.п. используются элементы интегрального исчисления. При этом для применения определенного интеграла составляют идеализированную модель, использующую непрерывные функции.

     Исследования закономерностей долговременных социально-экономических процессов невозможно без построения математических моделей, базирующихся на дифференциальных уравнениях. Подобные модели эффективно используются  в экономической динамике.

    Балансовая модель, включающая в себя основные компоненты динамики расходной и доходной частей экономики, зависящие от времени t: национальный доход Y(t), государственные расходы E(t), потребление S(t) и инвестиции I(t), представляет собой систему уравнений. Эта система отражает баланс расходов и национального дохода, баланс общего потребления с конечным потреблением и внутренним потреблением части национального дохода и зависимость размера инвестиций от произведения нормы  акселерации, характеризуемой уровнем технологии и инфраструктуры государства, на предельный национальный доход:

где a(t) – коэффициент склонности к потреблению (0 < а(t) < 1), b(t) – автономное (конечное) потребление, k (t) – норма акселерации. При этом функционирование и развитие государства характеризуются известными величинами a(t), b(t), k (t) и E(t). Тогда динамика национального дохода определяется ли нейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка: 

   Изучение модели рынка с прогнозируемыми ценами приводит к дифференциальному уравнению второго порядка, поскольку спрос и предложение в реальных ситуациях зависит не только от текущей цены на товар, но и от тенденции ценообразования (первая производная функции цены) и темпов изменения цены (вторая производная функции цены).

     Вероятностно-статистические методы описания  экономических явлений  и  процессо в являются инструментом построения соответствующих моделей в условиях неопределенности и позволяют определить закономерности их протекания, выявить главные факторы и установить влияние искажающих факторов на результаты статистических наблюдений.

    Значительное число факторов, оказывающих влияние на поведение экономического объекта, оценивается только с качественной  стороны. Это обстоятельство оправдывает применение методов экспертных оценок, дисперсионного и ковариационного анализа при исследовании реальных объектов. При изучении явлений, имеющих случайный характер, например, в теории принятия решений и в портфельном анализе, применяется метод статистических испытаний (метод Монте -Карло).

    Для решения задач, в которых либо нет неконтролируемых факторов, либо имеются только фиксированные неконтролируемые факторы, применяются основные модели и методы математического программирования (линейного, целочисленного, нелинейного, динамического и др.).

    Модели, условия и ограничения которых описываются уравнениями или неравенствами первой степени относятся к задачам линейного программирования. Например, составление плана работы станков, обеспечивающего минимальные затраты на производство всей продукции; определение наилучшего плана распределения ограниченных однородных ресурсов в целях решения поставленной задачи; составление дневного рациона с минимальной стоимостью и ограниченным содержанием питательных веществ и т.п.

    Содержательный смысл некоторых экономических проблем приводит к задачам, решения которых должны быть целыми числами, т.е. к целочисленному программированию. Например, это задачи об оптимальном распределении судов по навигационным линиям, о станочном парке предприятия, транспортная задача и еѐ модификации (задачи о назначениях, о потоках в сетях), задачи об оптимизации машинного парка и его оптимального распределения по указанным работам и многие другие. Экстремальные комбинаторные задачи, такие  как  календарное  планирование  и  теория  расписания,  задача  об  оптимальном  назначении,  задача коммивояжера (бродячего торговца), также решаются методами целочисленного программирования.

     В реальных условиях производства такие показатели как капитальные затраты, себестоимость, прибыль и другие нелинейно зависят от рас хо да ресурсов и объѐма производства, т.е. решение оптимизационных задач в этом случае приводит к нелинейному программированию, универсальные методы решения которых отсутствуют. Задачи распределения неоднородных ресурсов, планирования производства с учетом издержек, максимизации функции полезности инвестора и минимизации риска при формировании инвестиционного портфеля и им подобные можно решать графическим методом, классическими методами дифференциального исчисления (в частности, методом Лагранжа), градиентными методами (в частности, методом Франка -Вульфа, методом штрафныхфункций, методом Эрроу-Гурвица).

    В экономической практике нередко возникают задачи, содержащие некоторые параметры. Наличие параметра свидетельствует, например, о сезонном характере прибыли от реализации некоторой продукции; объѐм запасов, нормы их затрат и технология производства могут изменяться с течением времени и т.п. Такие задачи являются предметом изучения параметрического программирования. Если указанные параметры являются случайными величинами, полнее отображающими экономическую действи тельность, то перечисленные выше задачи решаются методами стохастического программирования.

    При решении менее масштабных задач, таких как, распределение дефицитных капитальных вложений; определение правил управления запасами; разработка долгосрочных правил замены выбывающих основных фондов; календарное планирование производства и выравнивание занятости в условиях колеблющегося спроса; составление календарных планов текущего и капитального ремонта, замены сложного оборудования и т.п. применяются модели динамического программирования.

    В условиях рыночной экономики и жесткой конкуренции производителей товаров и услуг необходимо уметь вырабатывать эффективные решения. Вместе с тем нужно быть готовым к злонамеренным действиям конкурентов, конфликтующих сторон, либо неосознанным действиям «природы». Для решения таких задач в математике сформировался раздел, называемый теорией игр, в котором разработаны методы решения задач с конфликтными ситуациями.

    Резюмируя вышесказанное, можно отметить, что современная математика является для экономики, управления и финансов не только  инструментом количественного  расчета, но  и методом исследования, и средством формулировки задач исследования, позволяет точно формулировать понятия экономической теории, корректно излагать еѐ положения и делать обоснованные выводы.

 

Список  литературы

1.           Карпюк И. А., Куляшова Н. М. Содержательные аспекты преподавания математики в рамках системы многоуровневого образования экономистов // Сб. науч. трудов SWorld, 2013. – Том 14. – № 1. – С. 52-56.

2.           Карпюк И. А., Куляшова Н. М. Некоторые аспекты математического образования экономистов-бакалавров // В мире научныхоткрытий. 2013. – № 11.8 (47). – С. 244-250.

3.           Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. – М. : Дело, 2001. – 688 с.