04 января 2016г.
Одним из основных моментов моделирования течения крови по кровеносным сосудам является выбор уравнения, описывающего это течение. Поскольку решение полного уравнения является невыполнимой задачей, то используют физически оправданные приближения и упрощения [1-3, 5].
В данной работе рассматривается движение крови по эластичной трубке, стенки которой способны растягиваться и сжиматься под действием гладких мышц, включенных в стенки кровеносного сосуда. Будем считать, что [6]:
1. Кровь несжимаемая жидкость, т.к. сжимаемость крови и тканей сосудистой стенки по величине близка к сжимаемости воды и для обычных физиологических условий значения не имеет.
2. Трение между стенками сосуда и кровью отсутствует, т.е. скорость крови на границе со стенкой сосуда равна нулю. Это приближение выполняется для всех видов сосудов.
3. Кровь – ньютоновская жидкость. Строго говоря, кровь не является ньютоновской жидкостью, однако приближение ньютоновской вязкой несжимаемой жидкости хорошо подходит для описания течения крови в крупных кровеносных сосудах (более 300 мкм), а для сосудов менее 300 мкм необходимо учитывать реологические свойства течения крови [4].
4. Вязкость крови постоянна – это хорошо выполняется для аорты, артерий и больших сосудов.
5. Будем использовать приближение ламинарности, т.к. течение крови по сосудам, в основном ламинарно, за исключением устья и дуги аорты.
В кровеносном сосуде по направлению движения крови выделим элементарную струйку тока. Обозначим:
u вектор скорости, ориентированный вдоль струйки, x – координата вдоль сосуда, dS площадь поперечного сечения элементарной струи, – плотность крови ( = const). Количество жидкости, протекающее через рассматриваемое сечение, равно ρudS.
Тогда уравнение, выражающее закон изменения количества движения, имеет вид:
Проанализируем выражение (13). Первое слагаемое содержит функции
описывающие прямую и отраженную волну давления соответственно, и определяет движение пульсовой волны, сохраняя изначальный профиль распределения давления в кровеносном сосуде. Второе, интегральное слагаемое описывает видоизменение профиля давления при движении по кровеносному руслу. В связи с этим можно утверждать, что профиль распределения давления в сечении сосуда изменяется с течением времени при движении пульсовой волны.
Таким образом, в данной работе из основных физических соображений получено уравнение (12) описывающее поведение статического давления в активно-упругом кровеносном сосуде. Анализ решения полученного уравнения говорит о том, что распределение давления по сечению сосуда, создаваемое на его входе, изменяется при прохождении через кровеносный сосуд.
Список литературы
1. Булдакова Т.И. Модель пульсового механизма на основе волнового описания сигнала//Наука и образование. №8. 2005.
2. Кошелев В.Б., Мухин С.И., Соснин Н.В., Фаворский А.П. Математические модели квазиодномерной гемодинамики: Методическое пособие. – М.МАКС Пресс, 2010. – 114 с.
3. Меркулов В.И. Распространение пульсовой волны по большим кровеносным сосудам//Электронный математический и медико-биологический журнал. Том 10. Вып. 4. 2011.
4. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.М.: Мир, 1983. 400 с
5. Симаков С.С., Холодов A.C., Евдокимов A.В. Методы расчета глобального кровотока в организме человека с использованием гетерогенных вычислительных моделей // Медицина в зеркале информатики. / Под ред. О.М. Белоцерковский, А.С. Холодов. — М.: Наука, 2008 — С. 124–170.
6. Ткаченко Б.И., Мазуркевич Г.С., Тюкавин А.И. и др. Физиология кровообращения. Физиология сосудистой системы / Под ред. Б.И. Ткаченко. – Л.: Наука, 1984. – 652 с.
