08 сентября 2017г.
АННОТАЦИЯ
В статье символом R обозначено ассоциативное кольцом с единицей, (не обязательно коммутативное), f :R ® R – эндоморфизм этого кольца с нулевым ядром A(R, f). – расширение Кона-Джордана кольца R с помощью эндоморфизма f. Обозначим через Lat(R, f) решетку всех f-замкнутых правых идеалов кольца R. Обозначение u-dim S будет означать правую размерность Голди (однородную размерность) кольца S.
Одна из целей настоящей работы – доказательство неравенства для размерностей Голди u-dim A(R, f ) £ u-dim R (см. Теорему 1). В теореме 2 даны необходимые и достаточные условия достаточное условие правильного идеала идеала A(R, f). Чтобы доказать эту теорему в общем случае, это еще одна цель этой работы.
Пусть R – полупервичное кольцо Голди справа (см. [1], [2], [3]). Еще одним результатом этой работы является теорема 3, которая дает эквивалентную характеристику существенных правых идеалов A(R, f) через LatA(R, f).
Ключевые слова: ассоциативные кольца; кольца Голди справа; однородная размерность.
All rings are unital associative in what follows. Throughout this paper R will stand for a ring and f will stand for an injective endomorphism of R.
BIJECTIVE EXTENSIONS OF ENDOMORPHISMS AND ESSENTIAL RIGHT IDEALS
Mushrub V. A., Vybornova I.I., Ivankova G. V., Mochalina E. P.
Russian Plekhanov University of Economics, Moscow , Russian Federation
Abstract
Throughout this paper R be an unital associative ring, not necessarily commutative, f :R ® R be a ring endomorphism with zero kernel Ker f = 0 and A(R, f ) be a Cohn-Jordan extension of R by means of f. Denote by the
lattice Lat(R, f ) of all f-closed right ideals of R. The notation u-dim S will stand for a right uniform dimension of an associative ring S.
One aim of this paper is to prove that u-dim A(R, f ) £ u-dim R (see Theorem 1). In Theorem 2, we give a sufficient condition for a right ideal of A(R, f ) to be essential. To give a proof of this theorem in the general case is another goal of this work. Let R be a semiprime right Goldie ring (see [1], [2], [3]). Another important result of this paper is Theorem 3, which gives an equivalent characterization of essential right ideals of A(R, f ) in terms of Lat(R, f ).
Keywords: associative rings; right Goldie rings; uniform dimension.
In view of Theorem 3, we can put the following open question.
Suppose that u-dim(RR) is finite or u-dim(AA) is finite, but the ring R is not semiprime or does not satisfy the ascending chain condition on right annihilators. Is it true that the conditions (1) and (2) proposed in Theorem 3 are still equivalent in this case.
Список литературы
1.
Hashemi
E.
The
Cohn-Jordan extension
and skew
monoid
rings
over
a
quasi-Baer
ring// Communications of the Korean Mathematical Society.
— 2006. — Vol. 21, №1. — P. 1–9.
2.
Leroy A., Matczuk J. Goldie conditions for Ore extensions over semiprime rings//Algebras and Representation Theory. — 2005. — Vol. 8, №5. — P. 679–688.
3.
Matczuk J. S-Cohn-Jordan extensions // Communications in Algebra. — 2007. — Vol. 35, №3. —P. 725-746.
4.
Mushrub V. Endomorphisms and invariance of radicals of rings// Contemporary Mathematics —2007. — Vol. 131, Part 2. — P. 363-379.
5.
Мушруб В.А. О размерности Голди расширений Оре со многими переменными//Фундаментальная и прикладная математика. — 2001. — Т. 7, №4 — С. 1107–1121.
6.
Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. — М.,1992. — 11 с.
7.
Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: дис. канд. физ-мат. наук. — М., 1992. — 158 с.
8.
Mushrub V.A.,
Sukhorukova I.V., Mochlina E. P., Ivankova G.V. Some properties of the lattice of f-closed right ideals. To appear.
9.
Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильников А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов // Отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований).
10.
Сухорукова И., Мушруб В.
The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. — 2016. — Т. 4. — С. 155-164.
11.
Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. – М.: МЦНМО, 2009. – 472 с.
Bibliography
1.
Hashemi E. The Cohn-Jordan extension and skew monoid rings over a quasi-Baer ring// Communications of the Korean Mathematical Society.
— 2006. — Vol. 21, №1. — P. 1–9.
2.
Leroy A., Matczuk J. Goldie conditions for Ore extensions over semiprime rings//Algebras and Representation Theory. — 2005. — Vol. 8, №5. — P. 679–688.
3.
Matczuk J. S-Cohn-Jordan extensions // Communications in Algebra. — 2007. — Vol. 35, №3. —P. 725-746.
4.
Mushrub V. Endomorphisms and invariance of radicals of rings// Contemporary Mathematics —2007. — Vol. 131, Part 2. — P. 363-379.
5.
Mushrub V.A. O razmernosti Goldi rasshireniy Ore so mnogimi peremennymi//Fundamental'naya i prikladnaya matematika. — 2001. — T. 7, №4 — P. 1107–1121
6.
Mushrub V.A. Endomorfizmy i radikaly kolets: Avtoref. dis. kand. fiz-mat. nauk. — Moscow, 1992. — 11 P.
7.
Mushrub V.A. Endomorfizmy i radikaly kolets: dis. kand. fiz-mat. nauk. — Moscow, 1992. —158 P.
8.
Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Mochlina E. P., Ivankova G.V. Some properties of the lattice of f-closed right ideals. To appear.
9.
Pchelintsev S.V., Grishin A.V., Krasilnicov A.N., Mushrub V.A. Identities of algebraic
objects //research report № 97-01-00785 (Russian Foundation for Basic Research), 1997
10.
Sukhorukova I., Mushrub V. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Ural'skiy nauchnyy vestnik. — 2016. — T. 4. — P. 155-164.
11.
Tuganbayev A.A. Teoriya kolets. Arifmeticheskiye kol'tsa i moduli. – Moscow: MCCME, 2009. –472 P.
