08 сентября 2017г.
* Исследования выполнены при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских учёных-кандидатов наук, код МК-176.2017.1
Во многих задачах (см., например [1] – [4]) возникают структуры, которые похожи на линейные пространства, однако умножение на скаляр 𝜆 вводится только для неотрицательных 𝜆 ≥ 0. Абстрактными
выпуклыми конусами или выпуклыми конусами принято называть набор элементов 𝑋 с заданными операциями сложения, а также умножения на неотрицательный скаляр, причём 𝑋 – коммутативная
полугруппа по сложению и для произвольных чисел 𝜆, 𝜇 ≥ 0, а также элементов 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 верны соотношения:
1 ∙ 𝑥 = 𝑥; (𝜆𝜇)𝑥 = 𝜆(𝜇𝑥); 0 ∙ 𝑥 = 0; 𝜆(𝑥 + 𝑦) = 𝜆𝑥 + 𝜆𝑦; (𝜆 + 𝜇)𝑥 = 𝜆𝑥 + 𝜇𝑥.
Попутно, как правило, также требуется выполнение так называемого закона сокращения «cancellation law»:
𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑧 ⟺ 𝑥 = 𝑧 ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. (1)
Выпуклыми конусами с законом сокращения, в частности, будут: наборы векторов с неотрицательными координатами, набор неотрицательных функций, набор неубывающих функций с естественными операциями сложения и умножения на скаляр, а также набор выпуклых компактных подмножеств банахова пространства со сложением по Минковскому (и стандартным умножением на
скаляр). В некоторых выпуклых конусах 𝑋 возможно ввести норму ‖∙‖: 𝑋 → ℝ ‖𝑥‖ ≥ 0, ‖𝑥‖ = 0 ⟺ 𝑥 = 0; ‖𝜆𝑥‖ = 𝜆‖𝑥‖; ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ (2)
для всяких 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 и произвольного 𝜆 ≥ 0.
Выпуклые конусы с нормой, удовлетворяющей (2), мы будем называть нормированными конусами.
В качестве примеров нормированных конусов можно также привести так называемые пространства с несимметричной нормой || ∙ |, для которой вместо обычной однородности требуется лишь ‖𝜆𝑥| = 𝜆‖𝑥| при
𝜆 ≥ 0. При этом, вообще говоря, ‖−𝑥| ≠ ‖𝑥|. Пространства с несимметричной нормой были введены М. Г. Кейном в связи с известной проблемой моментов (см., например [5]) и активно исследовались, в частности Е. П. Долженко, А. Р. Алимовым, П. А. Бородиным и другими математиками (см., например, [6, 7, 8]).
Важный и естественный пример несимметричной нормы – функционал Минковского выпуклого несимметричного множества, содержащего 0.
В работах А. Р. Алимова [6] и П. А. Бородина [7] были получены аналоги теоремы Банаха-Мазура в сепарабельных пространствах с несимметричной нормой. Данная заметка посвящена аналогичному
результату о сублинейном изометричном вложении в пространство С[0; 1] непрерывных функций всякого конусов в пространстве с несиметричной нормой (теорема 3).
Сначала напомним базисные результаты: полученный нами недавно в [9] аналог теоремы Хана- Банаха о продолжении линейного функционала в выпуклых конусах (теорема 1), а также аналог леммы об
опорном функционале в нормированных конусах (следствие 1). В [9] мы ввели следующий аналог понятия подпространства в классе выпуклых конусов.
Определение 1. Будем говорить, что 𝑌 – подконус 𝑋, если 𝑌 ⊂ 𝑋, 𝑌 является выпуклым конусом, а также для произвольных 𝑥 ∈ 𝑋 и 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑌 ⊂ 𝑋 условие 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 означает, что 𝑥 ∈ 𝑌.
Например, для каждого фиксированного набора элементов 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 из Х подконусом будет множество
Приведём теперь полученный нами недавно аналог теоремы Хана-Банаха о продолжении линейного функционала c подконуса 𝑌 ⊂ 𝑋 на весь конус 𝑋 в классе выпуклых конусов 𝑋 с законом сокращения
𝑋 ∈ (𝐶𝐿).
Теорема 1. Пусть 𝑋 – выпуклый конус с законом сокращения. Пусть 𝑝: 𝑋 → ℝ – выпуклый функционал на 𝑋, пусть 𝑌 – подконус 𝑋 и существует линейный функционал ℓ: 𝑌 → ℝ с оценкой ℓ(𝑦) ≤ 𝑝(𝑦) для любого 𝑦 ∈ 𝑌.
Тогда существует такой линейный функционал 𝐿: 𝑋 → ℝ, что 𝐿(𝑥) ≤ 𝑝(𝑥) для любого 𝑥 ∈ 𝑋 и 𝐿(𝑦) = ℓ(𝑦) для любого 𝑦 ∈ 𝑌.
Перейдем к аналогу хорошо известной леммы об опорном функционале в нормированных конусах.
Оказывается, что в абстрактных выпуклых конусах роль непрерывных (ограниченных) линейных функционалов могут играть полуограниченные (ограниченные сверху) линейные функционалы. Отметим, что такой функционал, вообще говоря, не ограничен снизу (см., например, [7]).
Определение 2. Будем говорить, что линейный функционал ℓ полуограничен на 𝑋, если для некоторого 𝐶 > 0 при любом 𝑥 ∈ 𝑋 верно неравенство ℓ(𝑥) ≤ 𝐶‖𝑥‖.
Ясно, что множество 𝑋∗ всех полуограниченных линейных функционалов на 𝑋 будет выпуклым конусом, если стандартно ввести операцию сложения и умножения на неотрицательный скаляр для таких
функционалов. Обозначим через 𝑋∗ набор всех полуограниченных линейных функционалов ℓ: 𝑋 → ℝ таких, что ℓ(𝑥0) ≥ 0 для некоторого 𝑥0 ∈ 𝑋, 𝑥0 ≠ 0.
Определение 3. 𝑋∗ назовем сопряженным конусом к 𝑋.
Из теоремы 1 непосредственно следует аналог известной леммы об опорном функционале в классе выпуклых нормированных конусов.
Следствие 1. Пусть 𝑋 – нормированный конус с законом сокращения. Тогда для каждого фиксированного 𝑥0 ∈ 𝑋 ∖ {0} существует такое ℓ ∈ 𝑋∗ ∖ {0}, что ℓ(𝑥) ≤ ‖𝑥‖ для всех 𝑥 ∈ 𝑋 и ℓ(𝑥0) = ‖𝑥0‖.
Замечание 1. Аналогичный результат известен в специальных классах нормированных конусов 𝑋 для неотрицательных линейных функционалов 𝑓: 𝑋 → ℝ+ (см. [4], теорема 2.14). Однако при этом, вообще
говоря, равенство 𝑓(𝑥0) = ‖𝑥0‖ невозможно (см. замечание после теоремы 2.14 в [4]).
Теперь рассмотрим класса выпуклых конусов X в пространстве Е с несимметричной нормой || ∙ |. Из теоремы 1 и следствия 1 вытекает следующая Теорема 2. Всякий выпуклый конус 𝑋 в пространстве Е с несимметричной нормой || ∙ | отделим, т.е. для любых различных элементов 𝑥1, 𝑥2 из 𝑋 существует такой линейный функционал ℓ: 𝑋 → ℝ, что ℓ(𝑥) ≤ ||𝑥| для всех 𝑥 ∈ 𝑋 и ℓ(𝑥1) ≠ ℓ(𝑥2), причем ℓ(𝑥1) > 0 или
ℓ(𝑥2) > 0.
Следствие 2. Во всяком отделимом нормированном конусе существует однородная метрика 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → ℝ
𝑑(𝑥, 𝑦) ≔ sup‖ℓ‖∗=1|max{0, ℓ(𝑥)} − max{0, ℓ(𝑦)}|,
для которой 𝑑(0, 𝑥) = ||𝑥| при всяком х.
Весьма хорошо известна теорема Банаха-Мазура, которая утверждает, что всякое сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно некоторому подпространству пространства 𝐶[0; 1]
непрерывных функций 𝜑: [0; 1] → ℝ. Из теорем 1, 2, а также следствий 1 и 2 выводится сублинейный аналог теоремы Банаха-Мазура в рассматриваемых классах нормированных конусов. На базе метрики 𝑑 из следствия 2 введём свойство сепарабельности выпуклого конуса 𝑋 в пространстве Е с несимметричной нормой.
Определение 4. Будем называть конус Х d-сепарабельным, если существует такая последовательность {𝑎𝑚}𝑚=1∞ ⊂ 𝑋, что lim𝑘→∞ 𝑑(𝑥, 𝑎𝑚𝑘 ) = 0 при всяком 𝑥 ∈ 𝑋 для некоторой
последовательности {𝑎𝑚𝑘 } 𝑘=1 ∞⊂ {𝑎𝑚}𝑚=1∞ из 𝑋.
В частности, d-сепарабельным будет всякий конус в пространстве с несимметричной нормой E, которое сепарабельно относительно согласованной с ||𝑥| обычной нормы ‖𝑥‖ = max {||𝑥|, || − 𝑥|}.
Сформулируем итоговый результат работы – аналог теоремы Банаха-Мазура для d-сепарабельных конусов в пространстве Е с несимметричной нормой.
Теорема 3. Пусть 𝑋 – 𝑑-сепарабельный конус в пространстве Е с несимметричной нормой. Тогда 𝑋 (относительно естественного порядка) сублинейно инъективно изометрично вложен в пространство непрерывных функций 𝐶[0; 1].
Замечание 2. Отметим, что в силу неотрицательности функционалов 𝑝ℓ (𝑥) = max{0, ℓ(𝑥)} образ 𝑋 при вложении из теоремы 3 есть некоторый набор (конус) неотрицательных функций в 𝐶[0; 1].
Замечание 3. Отметим, что в общем случае линейность и изометричность вложения нормированного конуса 𝑋 в нормированное пространство просто не совместны. В частности, для пространства 𝑋 = 𝐸 с несимметричной нормой || ∙ |, вообще говоря, || − 𝑥| ≠ ||𝑥|. Пусть (𝐹, ‖∙‖) – обычное нормированное пространство. Для всякого линейного вложения 𝜑: 𝐸 → 𝐹:
0 = 𝜑(0) = 𝜑(𝑥 − 𝑥) = 𝜑(𝑥) + 𝜑(−𝑥),
т.е. 𝜑(−𝑥) = − 𝜑(𝑥)и ‖𝜑(𝑥)‖𝐹 = ‖𝜑(−𝑥)‖𝐹 , что противоречит изометричности вложения (||𝑥|𝐸 = ‖𝜑(𝑥)‖𝐹 для всякого 𝑥 ∈ 𝐸).
Список литературы
1. Rädström J. H. An embedding theorem for space of convex sets. // Proc. Amer. Math. Soc., 1952, vol.3, P. 165 – 169.
2. Roth W. A combined approach to the fundamental theorems for normed spaces. // Bulletin Acad. Sinica, 1994, vol. 11, P. 83 – 89.
3. Roth W. Hahn-Banach type theorems for locally convex cones. // Journal of the Australian Math. Soc. (Ser. A), 2000, vol. 68, no. 1, 104 – 125.
4. Selinger P. Towards a semantics for higher-order quantum computation. // Proceedings of the 2nd International Workshop on Quantum Programming Languages. Turku Centre for Computer Science General Publication, 2004, vol. 33, P. 127 – 143.
5. Крейн М.Г., Нудельман А.А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. – М.: Наука, 1973.
6. Алимов А.Р. Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричным расстоянием. // Усп. мат. наук, 2003, т. 58(350), № 2, С. 159 – 160.
7. Бородин П. А.Теорема Банаха-Мазура для пространств с несимметричной нормой и ее приложения в выпуклом анализе. // Математические заметки, 2001, том 69, вып. 3, С. 329 – 337.
8. Долженко Е. П., Савостьянов Е.А. Аппроксимации со знакочувствитель-ным весом. // Изв. РАН. Сер. матем., 1998, том 62, № 6, 59 – 102; 1999, том 63, № 6, С. 77 – 118.
9. Stonyakin F.S. An analogue of the Hahn-Banach theorem for functionals on abstract convex cones. // Eurasian Math. J, 2016, vol.7, no. 3, P. 89 – 99.
