МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОХИМИЧЕСКОЙ ВЫРЕЗКИ ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ ЭЛЕКТРОДОМ-ИНСТРУМЕНТОМ

Постановка и метод решения задачи

Рассмотрим нестационарную задачу электрохимической обработки с помощью электрода- инструмента (ЭИ) круглой в сечении формы. ЭИ заглубляется в изначально плоскую заготовку со скоростью Vet под прямым углом к поверхности. Начальный межэлектродный зазор (расстояние CD) равен S0 , разность потенциалов между электродами равна U. Форма межэлектродного пространства (МЭП) показана на рис. 1.

При допущении об однородности среды (электролита) для решения задачи можно применить методы теории функций комплексного переменного. Рассматриваемая задача является разновидностью задачи Хеле-Шоу со свободной границей [1] и решается с помощью конформных отображений.

Пусть Z=X+iY. В связи с эквипотенциальностью электродов форма области МЭП на плоскости комплексного потенциалаW = j + iy(j – потенциал электрического поля, y – функция тока) представляет собой прямоугольник (рис. 2, а). При этом величина напряженности электрического  поля определяется производной    а плотность тока в соответствии с законом Ома j = kE . В  каждый момент времени задача сводится к определению конформного отображения области МЭП физической плоскости на прямоугольник плоскости W.

Чтобы решить эту задачу, конформно отобразим область МЭП на прямоугольник параметрической плоскости c (рис. 2, б). Тогда связь плоскостей c и W осуществляется функцией

Численные результаты

Из практических соображений наибольший интерес представляют зависимости отношения d полуширины паза, получающегося в результате процесса резки, к радиусу ЭИ от безразмерного радиуса ЭИ r=R/l, а также формы обрабатываемой поверхности, образующиеся в области входа ЭИ в заготовку.

На рис. 3 представлены зависимости d от r (кривые соответствуют: 1 – a=1; 2 – a=2; 3 – a=∝)

Финальные формы, образующиеся в области входа ЭИ в заготовку, при a=¥ показаны на рис. 4 для трех значений безразмерного радиуса ЭИ (кривые 1, 2, 3 соответствуют r=1; 2.5; 5). Буквой «S» отмечены асимптоты соответствующих стационарных решений.

Выводы

Таким образом, разработана модификация численно-аналитического метода, которая позволила решить задачу о вырезке пазов цилиндрическим электродом-инструментом.

Следует отметить, что данная модификация метода имеет четвертый порядок точности по числу разбиений по пространству, и первый порядок по времени (это связано с разрывной зависимостью выхода по току от плотности тока).

Список литературы

1.   Howison S.D. Complex variable methods in Hele-Shaw moving boundary problems. // Eur. J. Appl. Math. 3 (1992) – PP. 209–224.

2.       Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Зарипов А.А. Моделирование электрохимического копирования в ячейке конечной ширины // ПМТФ. 2017. Т. 58, № 6. – С. 167–176.

3.     Житников В.П., Ошмарина Е.М., Федорова Г.И. Использование разрывных функций для моделирования растворения при стационарном электрохимическом формообразовании // Изв. Вузов. Математика. – 2010, № 10. – С. 77–81.

4.   Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопр. прикл. матем. и мех. – Чебоксары: Чуваш. ун-т.1971. Вып.1. – С. 3–35.