04 февраля 2018г.
Постановка задачи ∆1 предполагает задание граничных условий на координатных осях x = 0 (y > 0) и y= 0 (x > 0) и двух условий сопряжения на линии сингулярности коэффициентов уравнения y = x, первое из которых склеивает само решение, второе - его нормальные производные. В силу того, что решение уравнения (1) на линии y = x обращается в бесконечность, в первом условии сопряжения мы склеим с противоположным знаком производные по нормали:
Одно из граничных условий задаётся со смещением, в него входит интегральное выражение, содержащее нормальную производную искомого решения.
За основу решения поставленной задачи возьмем решение видоизмененной задачи Коши в областях D1 и D2, определяемое формулами (2) − (7). Подчиним функции (2), (5) условиям (10), (11) соответственно.
приходим к
уравнению
для решения
которого воспользуемся методикой
работы [3]. Рассмотрим частный случай
функции
Вольтерра [3]
Продифференцируем обе части
тождества (17) по x, получаем, с учётом функции (15):
полученного методом Римана решения видоизменённой задачи Коши, взятого за основу, и
однозначной
разрешимости
интегральных уравнений, получающихся в процессе решения задачи. Существование решения доказано проверкой.
В конце отметим, что данная работа является продолжением исследований по постановке и
решению нелокальных краевых задач для уравнения Эйлера – Дарбу и его обобщений. Это связано с тем, что при
всём
многообразии вырождающихся гиперболических уравнений
и нелокальных условий, удачно подобранных к данному дифференциальному уравнению, последнее в характеристических координатах сводится к уравнению
Эйлера – Дарбу. Таким образом, представляет интерес описать всё
многообразие корректных постановок нелокальных краевых задач для уравнения Эйлера – Дарбу – Пуассона. В связи
с этим отметим следующие работы. [4 - 7]
Список литературы
1.
Смирнов М.М. «Уравнения смешанного типа». Москва, «Высшая школа», 1985
2.
Rodionova I.N., Bushkov S.V. Modified Cauchy and Cauchy-Goursat problems for the Euler- Darboux equation // European Science and Technology [Text] : materials of the XVII international research and practice conference, Munich, June 7th – 8th, 2017 / publishing office Vela Verlag
Waldkraiburg – Munich – Germany, 2017 – р. 14-21.
3.
Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. «Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения». Минск, «Наука и техника», 1987
4.
Бушков С.В., Родионова И.Н. «О постановке краевых задач для уравнения Эйлера – Дарбу в области, содержащей две линии сингулярности коэффициентов уравнения». О вопросах и проблемах современных математических и естественных наук. Сборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Инновационный центр развития
образования и науки. 2016. С.
9-16. (Челябинск)
5.
Васильева О.А., Родионова И.Н. «Для обобщённого уравнения Эйлера – Дарбу задача с
нестандартными условиями сопряжения на характеристической линии». ScienceTime. 2016. №5 (29).
С.
116-124.
6.
Родионова И.Н., Долгополов В.М. «Аналог задачи для гиперболического уравнения второго
порядка в трёхмерном пространстве». Вестник Самарского госуд. технич. университета.
Серия: Физико-математические науки. 2015.
Т.19. №4.
С. 697-709
7.
Родионова И.Н., Долгополов М.В., Долгополов В.М. «Об одной нелокальной задаче для уравнения Эйлера – Дарбу» // Вест. Сам.гос. техн. ун-та. Сер. Физ-мат. науки, 2016. Т. 20, №2.
С. 259-275. doi: 10.
14498/vsgtu1487
