09 марта 2016г.
Любое тело, погруженное в жидкость,
подвергается сжимающему и выталкивающему действию
со стороны жидкости. На единицу поверхности тела, погруженного в жидкость с плотностью r, действует по нормали к поверхности гидростатическое давление p, зависящее от глубины погружения h по определенному закону (p = rgh) и не
зависящее от ориентации поверхности. Чтобы сложить векторы сил давления, действующих на различные
элементы поверхности тела и направленные по нормали
к ним; т. е. вычислить поверхностный интеграл от определенной векторной функции по поверхности тела произвольной формы, можно воспользоваться простым рассуждением и вывести закон Архимеда.
На Рисунке 1, изображено тело, помещенное в жидкость. На это тело со стороны
жидкости действует описанная выше сила гидростатического давления. Для нахождения этой силы вместо вычисления сложных интегралов проведем
мысленный эксперимент: уберем тело и рассмотрим жидкость
в объеме V, который занимала погруженная часть тела (Рисунок 2). На эту жидкость
действует сила тяжести rVg и сила гидростатического давления F (здесь и далее трехмерный вектор
обозначается полужирным шрифтом). Выделенный объем находится в равновесии, следовательно, сумма сил, действующих на жидкость в этом объеме, равна нулю:
F + rVg = 0. (1)
Отсюда следует выражение
для силы гидростатического давления:
F
= - rVg. (2)
Мы нашли силу, действующую на поверхность жидкости, заполняющей объем V. Но поверхность тела, погруженного в жидкость, совпадает с поверхностью жидкости
в нашем мысленном эксперименте, следовательно, найденное выражение
и есть «выталкивающая» сила ― сила Архимеда
FАрх = – rVg. (3)
Казалось бы, решение задач
с использованием этого закона не должно
вызывать затруднений. Однако неверные
решения отдельных задач
на закон Архимеда встречаются в ряде задачников. Дело в том, что при использовании этого (как и
любого другого) закона надо всегда помнить,
как и для каких ситуаций
он выводился. Так, например, мы вычисляли силу гидростатического давления,
действующую на поверхность неподвижного объема жидкости,
находящейся в равновесии, т. е. имеющей нулевые
скорость и ускорение. Следовательно, и использовать выведенное выражение для силы Архимеда
можно только в тех случаях, когда и скорость, и ускорение тела равны нулю.
Покажем, что применение этого закона в других ситуациях
абсолютно неправомочно, так как приводит к неверным результатам.
Рассмотрим легкое тело, привязанное ниткой к дну сосуда, заполненного жидкостью (Рисунок 3). Тело погружено
в жидкость и находится в равновесии. На него действуют вниз сила тяжести mg = r1Vg и сила натяжения нити T, а вверх - сила гидростатического
давления F = FАрх = - rVg, где r1 - плотность тела, r - плотность жидкости. Условие
равновесия тела:
- rVg + T + r1Vg = 0. (4)
Пусть в некоторый момент
нить обрывается (т. е. исчезает
сила натяжения T), равенство (4) перестает выполняться, и тело начинает двигаться вверх (всплывать) с некоторым ускорением a, которое можно найти из уравнения движения
F
+ r1Vg = r1Va. (5)
Предположив, что в этом случае можно использовать закон Архимеда,
подставим -rVg в левую часть равенства (5)
вместо F. Для ускорения тела получаем выражение
a = - g(r - r1)/r1. (6)
Исследуем выражение (6). Ускорение тела направлено против ускорения свободного падения (что абсолютно верно), а его величина неограниченно возрастает при уменьшении плотности тела. Такой результат противоречит как здравому смыслу, так и наблюдениям.
Таким образом,
закон Архимеда в форме (3) неприменим к телам, ускорение которых относительно жидкости отлично
от нуля (даже при равной нулю скорости). В ряде пособий
(см., например, [Иванов
М.В.]) приводится неверное
объяснение этого эффекта.
Найдем ускорение, с которым начинается движение
шарика с плотностью
r1, полностью погруженного в жидкость
с плотностью r.
Прежде всего, рассмотрим небольшой
объем жидкости, имеющий вид длинного
цилиндра, направленного вдоль оси Ox, с
высотой Dx и площадью основания S. Давление
в жидкости p(x, y, z). Площадь основания цилиндра настолько
мала, что давление
во всех точках основания можно считать одинаковым. Пусть координата одного основания цилиндра x, а координата другого основания x + Dx. Вдоль оси Ox на цилиндр действуют сила давления Fx = (p(x, y, z) – p(x+Dx, y, z)) DS, сила тяжести
mgx = r DxSgx (13)
(здесь gx – проекция ускорения
свободного падения на ось Ox). Считаем, что выделенный объем покоится, т. е. имеет нулевую скорость
по отношению к окружающей жидкости, и поэтому не рассматриваем сил вязкого трения, которые могут возникать при относительных смещениях соседних слоев жидкости.
Под действием перечисленных выше сил выделенный объем жидкости может
двигаться с некоторым ускорением ax:
Это уравнение было впервые получено
Эйлером [Euler L.], а впоследствии получило название уравнения Лапласа.
Для вычисления выталкивающей силы, действующей на поверхность тела, погруженного в жидкость, необходимо знать давление на поверхности тела, т. е. решить
уравнение (20) с учетом
граничных условий конкретной задачи.
Рассмотрим движение шарика радиусом
R, погруженного в несжимаемую жидкость. Будем считать,
что размеры шарика
много меньше размеров сосуда и расстояния до поверхности жидкости. Для решения
такой задачи надо сформулировать граничные условия
на поверхности шарика и на бесконечности. Для этого выберем сферическую систему
координат с началом
в центре шарика. Ось Oz направим вертикально вверх. Точки на поверхности шарика будут описываться координатами (R, q, j), причем зависимость давления от угла j отсутствует в силу осевой симметрии
задачи. Если плотность
шарика r1 отличается от плотности
жидкости r, шарик начнет
двигаться с некоторым
ускорением a. Точки на поверхности шарика будут иметь то же самое ускорение a. Составляющая этого ускорения
по нормали к поверхности будет равна
an = a cosq. Жидкость у поверхности шарика будет смещаться с ускорением, нормальная составляющая которого
будет такой же.
Используя связь (18), можно записать первое
граничное условие
для уравнения (20) в виде
Зависимость силы гидростатического давления, действующей на свободное тело, от его плотности
r1 представлена на графике Рисунок
4 в сравнении со стандартным выражением для силы Архимеда rVg. Из этого графика видно, что для малых плотностей
тела сила давления
убывает до нуля, а при увеличении плотности эта сила стремится к величине 1,5 rVg.
На следующем графике (Рисунок 5) приведена зависимость ускорения свободного
тела в жидкости от его плотности [уравнение (32)]. Для сравнения
пунктиром приведен график ускорения, получающийся непосредственно из закона Архимеда [уравнение (6)]. Из этого графика
видно, что даже бесконечно легкий
шарик всплывает с конечным ускорением, равным 2g, а тяжелые тела тонут с ускорением, меньшим,
чем это следует из закона Архимеда.
Если пренебречь вязкостью жидкости, то можно показать
[Ландау Л.Д.], что в случае ламинарного обтекания при отличной от нуля и направленной вертикально скорости шарика u к правой части равенства (25) добавляется слагаемое
Таким
образом, выражения
для ускорения шарика (32) и силы давления (33) справедливы и для отличной от нуля скорости при условии
ламинарного обтекания и отсутствии вязкости.
Список литературы
1.
Euler L. Principia motus fluidorum, Novi Commentarii Acad. Sci. Imp. Petrop.,
6, 1761. P. 271-371 (англ. перевод: Principles of the motion of fluids, arXiv:0804.4802)
2. Иванов М.Г. Механика, Электронная учебная библиотека, Лицей «Физико-техническая школа», 1998, http://www.school.ioffe.ru/library/online
3.
Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М., Гидродинамика. М., 2006. 736 с