03 января 2016г.
Аннотация.
Работа посвящена проблемам построения кооперативной теоретико-игровой моделью лизинговой деятельности (КТИМЛ) и методам последующего содержательного анализа решений кооперативной игры с трансферабельной полезностью, лежащей в еѐ основе.
Ключевые слова: лизинг, теория игр, кооперативные игры, кооперативной теоретико-игровой моделью лизинговой деятельности (КТИМЛ).
Согласно текущей стратегии развития экономики в России, одной из ключевых задач является задача развития реального сектора. Решение такой задачи возможно в случае трансформации реального сектора, его модернизации, внедрения инновационных технологий и подходов, совместно с реструктуризацией как производственных циклов, так и систем управления. Среди прочего структура привлечения инвестиций, в том числе банковского финансирования, должна быть усовершенствована. В настоящее время среди инструментов привлечения средств в бизнес одним из перспективных направлений является финансовый лизинг. Не смотря на то, что в России такой инструмент появился лишь в начале 90-х годов XX века, он отвечает современным экономическим требованиям и позиционируется, как незаменимый в вопросах модернизации основных фондов предприятий. Именно поэтому финансовый лизинг вызывает большой интерес в смысле оценки его эффективности и проведения ряда экономико-математических исследований.
Безусловно, задачи, возникающие в сфере лизинговых отношений, имеют весьма разнообразную и различную природу, что, в свою предопределило, разнообразие математического аппарата, который может быть полезен применительно к данной предметной области. С одной стороны, это могут быть ставшие «почти классическими» оптимизационные методы21, с другой, более, чем востребованными могут оказаться эконометрические модели22. При условиях определѐнной адаптации несомненно перспективными и привлекательными выглядят модели, основанные на аппарате финансовой математики23, либо модели стохастической динамики финансовых ресурсов и финансовой фирмы24. Наконец, это могут быть задачи связанные с анализом влияния макроэкономической среды, в целом, на сферу лизинговых отношений.
В системе взаимоотношений клиент-поставщик-банк мы достаточно явно сталкиваемся с «классической» ситуацией принятия решений в условиях неопределѐнности, порождаемой конфликтом интересов. Действительно, если целью клиента является поиск такой формы приобретения имущества, которая минимизирует его затраты, в то же время поставщик стремится к такой реализации товара, которая бы принесла максимальный доход. Соответственно, кредитор решает задачу максимизацию доходности капитала.
Эффективным инструментом для принятия решений в подобных условиях являются методы современной теории игр. Следует обратить внимание на то, что решения задач, возникающих в сфере лизинга могут быть использованы весьма разнообразные теоретико-игровые модели. В частности, исходные математические построения, описывающие лизинговые отношения, могут основываться на простейших статических некооперативных игра с полной информацией25,26. В более продвинутых ситуациях полезными могут оказаться так называемые игры сотрудничества 27,28.
В данном случае фокус рассмотрения будет сосредоточен на вопросах применения к анализу лизинговых отношений математических моделей, основывающихся на кооперативных играх с трансферабельной полезностью. Принципиальное достоинство моделей данного класса заключено в их ориентированности на выявление закономерностей и эффектов, порождаемых в процессе объединения в коалиции потенциальных участников, вовлекаемых в процесс лизингового кредитования: поставщика, компании (клиента) и кредитора (банка). При этом гипотеза о трансферабельности полезностей в данном контексте представляется вполне реалистичной, поскольку каждый из перечисленных участников (игроков) оценивает свою полезность (дополнительные преимущества от создания коалиций) в однородных и сопоставимых денежных единицах.
Отдавая предпочтение кооперативным играм как инструменту моделирования, мы прежде всего руководствуемся приоритетом тех задач исследования, которые связаны с взаимодействием участников лизинговых отношений в рамках потенциальных коалиций. Строго говоря, эффект от объединений участников «лизинговой игры», даже будучи выраженным в денежной форме, не обладает в полной мере свойством трансферабельности. В зависимости от перераспределения одна и та же сумма может иметь различную значимость (ценность, полезность) для различных субъектов. Одна по соображения конструктивного и технологического плана, принимая во внимание существенно более высокий уровень сложности игр с нетрансферабельной полезностью, мы примем предпосылку о трансферабельности полезностей игроков в нашей модели.
«Классическая» кооперативная игра с трасферабельной полезностью задаётся множеством игроков 𝐼 и характеристической функцией 𝑣. Характеристической функцией кооперативной игры называется функция, которая каждой возможной коалиции S ставит в соответствие ту полезность, которую коалиция может получить.
21 Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. СПб, Издательство СПбГУ, 2008.
22 Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. - М.: Юнити-Дана, 2003-2004.
23 Martin W. Baxter, Andrew J.O. Rennie. Financial Calculus. An introduction to derivative pricing.CambridgeUniversityPress, Cambridge 2001.
24 Вишняков И.В., Конюховский П.В. Модель динамики ресурсов в финансовой фирме // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5: Экономика. 1999. № 4. С. 98-106.
25 Kuhn H.W. Contributions to the Theory of Games, II (AM-28).Princeton University Press, 1953.
26 Nash J.F. The Bargaining Problem // Econometrica. 28. 155–162, 1950.
27 Конюховский П.В., Малова А.С. Применение методов теории игр в анализе отношений сотрудничества между экономическими субъектами // Вестник Орловского государственного университета. Серия новые гуманитарные исследования. 2012, № 3 (23). C. 192-197.
28 Konyukhovskiy P.V., Malova A.S. Game-theoretic models of collaboration among economic agents Contributions to Game Theory and Management. 2013. Т.
Как известно, дележом в кооперативной игре 𝐼,𝑣 называется вектор 𝑥= 𝑥1,…,𝑥𝑖,…,𝑥𝑛 , удовлетворяющий условиям (a) индивидуальной рациональности:
(b) групповой рациональности:
где n= I – число игроков.
Вектора, удовлетворяющие только условию (2), называют пред-дележами.
Компоненты вектораx определяют полезности, которые делѐж предписывает каждому из игроков. В
рассматриваемой нами кооперативной теоретико-игровой модели лизинговой деятельности – это доли участников
в общем доходе коалиции, образуемом клиентом, банком и поставщиком.
В соответствии с условием (1) каждый из игроков в результате распределения полезности (дохода) полной коалиции должен получить полезность, не меньшую, чем та, которую он может получить без вступления в какие- либо коалиции.
Условие (2) – групповая рациональность – означает, что выигрыш полной коалиции должен быть распределѐн полностью между еѐ участниками.
В теоретико-игровом подходе к анализу экономических взаимосвязей построение характеристической функции является одной из основных задач. Однако в силу необходимости учѐта значимого количества факторов задача не является тривиальной, а характеристическая функция не всегда может быть однозначно определена. Данная проблема, как правило, выносится за рамки работ, посвящѐнных математическим аспектам теории игр.
Результаты построения характеристической функции представлены в Табл.3.
Таблица 3 Характеристическая функция для теоретико-игровой модели лизинговой деятельности (КИМЛ)
|
Коалиция, S
|
Lo
|
Up
|
σ({S})
|
v(S)
|
|
{1}
|
-0,250
|
0,190
|
0,073
|
-0,030
|
|
{2}
|
-0,030
|
0,026
|
0,009
|
-0,002
|
|
{3}
|
-0,053
|
0,500
|
0,092
|
0,224
|
|
{1;2}
|
|
|
0,020
|
0,220
|
|
{1;3}
|
|
|
0,020
|
0,270
|
|
{2;3}
|
|
|
0,020
|
0,750
|
|
{1;2;3}
|
|
|
0,010
|
0,945
|
Источник: расчѐтные данные
В дальнейшем условимся построенную нами математическую модель называть кооперативной теоретико- игровой моделью лизинговой деятельности (КТИМЛ).
Принципиальный этап построения методик эксплуатации КТИМЛ связан с определением конкретной концепции решения базовой кооперативной игры, на основе которой будет проводиться последующий анализ коалиционного поведения участников (клиента, банка, поставщика).
Среди наиболее известных, классических концепций решения могут быть названы вектор Шепли, С-ядро, N-ядро, K-ядро, переговорное множество.
Остановимся на ряде аспектов, связанных с применением концепции С-ядра к анализу КТИМЛ.
Напомним, что С-ядром называется множество недоминируемых дележей, т.е. множество, дележей удовлетворяющих условиям
По существу
в
определении С-ядра (3) к условиям (1) и (2) добавляются так называемые условия коалиционной рациональности
В силу простоты рассматриваемой
кооперативной игры (количество игроков равно трём) множество дележей в ней, а также C–ядро может быть построена геометрическая интерпретация. Она представлена на Рисунке 1. Подчеркнём, что точки плоскости на Рисунке 1 соответствуют векторам трёхмерного пространства, лежащим на плоскости групповой рациональности
Графическая визуализация множеств дележей и пред-дележей представлена на Рисунке 1 (на нем показана плоскость групповой рациональности и принадлежащие в ней множества, удовлетворяющие условиям индивидуальной и коалиционной рациональности).
Множеству дележей соответствует плоскость в трехмерном пространстве, пересекающая координатные оси в точках (-0,030;-0,002; 0,978), (0,724;-0,002; 0,223), (-0,030; 0,752; 0,223). Условия индивидуальной рациональности имеют вид:
x1≥−0,03 (6)
x2≥−0,002 (7)
x3≥0,223 (8)
Каждый игрок по отдельности зарабатывает ту полезность, которая соответствует его стратегии без коалиции, следовательно дележи должны давать игроку больше такой полезности. Множество дележей в игре представляют собой двухмерный симплекс с вершинами (-0,030; -0,002; 0,978), (0,724; -0,002; 0,223), (-0,030; 0,752; 0,223). Множество точек, лежащее на плоскости (5) являются пред-дележами в данной игре. Для получения С-ядра, необходимо учесть ограничения на возможности коалиции, а именно:
Результатом пересечения плоскостей, описанных выше указанными неравенствами, является область, выделенная цветом – геометрическая интерпретация дележей, образующих С-ядро (см. Рисунок 1).
Рис.1. Геометрическая интерпретация множества дележей в КТИМЛ
Точки, принадлежащие множеству 𝐶(𝑣) определяют различные варианты распределения доходов между участниками, однако как мы видим из иллюстрации, это множество довольно велико, а его угловые точки существенно различаются и с малой долей вероятности являются оптимальными решениями. Основной вывод, который может быть сделан из полученного результата – это наличие объективных причин для существования созданных коалиций.
Очевидным недостатком С-ядра, полученного нами для рассматриваемой игры, является его неодноточечность. Другими словами, С-ядро не даѐт нам однозначных рекомендаций относительно распределения полезности между участниками полной коалиции в случае её возникновения.
Один
из возможных путей преодоления данной проблемы основывается на концепции N-ядра, что является одной из первоочередных задач дальнейших исследований.
Полученные результаты так же позволяют выявить потенциальный путь развития построенной модели в части расширения числа игроков путѐм введения в игру лизинговой компании. Мы можем предположить, что это позволит не только сформировать дополнительную полезность лизинговой компании, но у увеличить удельный доход остальных участников. Также мы считаем целесообразным
рассмотрение кооперативных лизинговых моделей с пустым C-ядром и возможностью дополнительных внешних воздействий на значения характеристической функции.
Говоря о потенциальных направлениях развития рассмотренных моделей, в первую очередь следует обратить внимание на их уязвимую сторону, связанную с допущением о возможности представления значений характеристической функции в виде детерминированных величин. В реальности мы можем лишь с некоторой долей вероятности опираться на гипотетические предположения относительно возможных позитивных последствий возникновения той или иной коалиции.
Один
из возможных путей преодоления данной проблемы связан с переходом от традиционных классических кооперативных игр к стохастическим кооперативным играм. Среди работ, в которых получила развитие проблематика стохастических кооперативных игр и рассмотрены возможные сферы их практического приложения могут быть названы работы, описывающие экономическое применение стохастических кооперативных игр при обосновании инвестиционных проектов29, а так же в процессах слияния и поглощения30.
