О ПОДЛОГИКАХ ЛОГИКИ, ИНДУЦИРОВАННОЙ ИСЧИСЛЕНИЕМ V1 А. АРРУДА

32Работа выполнена при поддержке РГНФ, грант № 13-03-00088а.

В работе [7] Аиды Арруда построены исчисления, посредством которых  формально эксплицируются некоторые идеи российского логика и философа Николая Александровича Васильева. Одно из этих исчислений – исчисление V1. Настоящая статья содержит авторские результаты, полученные при изучении подлогик васильевского фрагмента логики, индуцируемой исчислением V1. Этот фрагмент определяется как множество всех таких V1-доказуемых формул, что всякая входящая в них пропозициональная переменная является так называемой «васильевской пропозициональной переменной» (термин работы [7]), и равен, по существу, логике, индуцируемой исчислением P1 из [10]. 

В предлагаемой статье

(a)    мы определяем, следуя [3], строго убывающую по теоретико-множественному включению бесконечную последовательность I1,1, I1,2, I1,3, …I1,w подлогик васильевского фрагмента логики, индуцируемой исчислением V1,

(b)     для каждого j из {1, 2, 3,…w} мы представляем секвенциальное исчисление GI1,j (см. [5]), которое аксиоматизирует логику I1,j,

(с) для каждого j из {1, 2, 3,…w} мы представляем двузначную оценочную семантику для логики I1,j (см. [6]),

(d) для каждого j из {1, 2, 3,…} мы представляем кортежную семантику для логики I1,j (см. [6]).

Здесь будут также сформулированы некоторые результаты, полученные с использованием упомянутых исчислений и семантик.

Язык L всех рассматриваемых в этой работе логик есть стандартно определяемый пропозициональный язык, алфавиту которого принадлежат все следующие символы (и только эти символы): &, Ú, É, Ø, (, ), p1, p2, p3,… Как и следовало ожидать, &, Ú, É являются бинарными логическими связками языка L, Ø является унарной логической связкой языка L, скобки (, ) являются техническими символами языка L и p1, p2, p3,… являются пропозициональными переменными языка L. Определение L-формулы обычно. Далее мы используем «формула» как сокращение для «L-формула» и допускаем применение соглашения об опускании скобок, аналогичное соответствующему соглашению из [8]. Квазиэлементарной формулой называем такую  формулу, которая не содержит вхождений бинарных логических связок языка L. Используем традиционное определение длины формулы. Логикой называем непустое множество формул, замкнутое относительно правила modus ponens в L (обозначаемого через MPL) и правила подстановки формулы в формулу вместо пропозициональной переменной (обозначаемого через SubL). Теорией логики L называем множество формул, включающее логику L и замкнутое относительно правила MPL. Понятно, что множество всех формул является логикой и теорией любой логики. Множество всех формул называем тривиальной теорией. Противоречивой теорией логики L называем такую теорию T логики L, что для некоторой формулы A верно, что A Î T и ØA Î T. Паранепротиворечивой теорией логики L называем такую противоречивую теорию логики L, которая не является тривиальной теорией. Паранепротиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L.

Условимся, что на протяжении всей статьи: a есть произвольный элемент из {0,1, 2, 3,…w}, b есть произвольный элемент из {1, 2, 3,…w}, g есть произвольный элемент из {1, 2, 3,…}. Определим исчисление HI1,a. Это исчисление является исчислением гильбертовского типа, язык исчисления HI1,a есть L, HI1,a имеет единственное правило вывода - MPL. Определение вывода в HI1,a из множества формул и определение доказательства в HI1,a стандартны. Остается задать аксиомы исчисления HI1,a.

Формула называется аксиомой исчисления HI1,a, если она имеет хотя бы один из следующих двенадцати видов (здесь A, B, C – формулы):

Пусть для всякого j из {0, 1, 2, 3,…w} I1,j есть множество всех формул, доказуемых в HI1,j. Доказаны следующие теоремы T1-T4.

T1. Множества I1,0, I1,1, I1,2, I1,3, …I1,w являются логиками, при этом для всяких k и l из {0, 1, 2, 3,…w} верно, что если k < l, то I1,l Í I1,k.

T2. Логика I1,0 есть множество всех классических тавтологий в L.

T3. Логика I1,1 есть (с точностью до используемых символов) васильевский фрагмент логики, индуцированной исчислением V1.

T4. Логика I1,1 есть (с точностью до используемых символов) множество всех формул, доказуемых в исчислении P1.

Опираясь на теоремы T1 и T4, а также на тот факт, что P1 есть (см. [10]) паранепротиворечивая логика, получаем, что верна теорема T5.

T5. Логики I1,1, I1,2, I1,3, …I1,w паранепротиворечивы.

Связь между логиками I1,1, I1,2, I1,3, …I1,w с одной стороны и логикой I1,0 (последняя есть классическая пропозициональная логика в L) с другой стороны устанавливают следующие ниже теоремы (6) и (7).

Пусть j есть отображение множества всех формул в себя, удовлетворяющее следующим условиям: (1) j(p) не есть квазиэлементарная формула ни для какой пропозициональной переменной p языка L, (2) для всякой пропозициональной переменной p языка L формулы  pÉj(p)  j(p)Ép принадлежат логике  I1,0, (3) j(B°C) =

j(B)°j(C) для всяких формул B, C и для всякой бинарной логической связки ° языка L, (4) j(ØB) = Øj(B) для всякой формулы B.

T6. Для всякого j из {1, 2, 3,…w} и для всякой формулы A: A Î I1,0 тогда только тогда, когда j(A) Î I1,j. Пусть теперь y есть отображение множества всех формул в себя, удовлетворяющее следующим условиям:

(1) y(p) = p для всякой пропозициональной переменной p языка L, (2) y(B°C) = y(B)°y(C) для всяких формул B, C и для всякой бинарной логической связки ° языка L, (3) y(ØB) = y(B)ÉØ(p1Ép1) для всякой формулы B.

T7. Для всякого j из {1, 2, 3,…w} и для всякой формулы A: A Î I1,0 тогда и только тогда, когда y(A) Î I1,j. Продемонстрируем метод построения секвенциального исчисления GI1,b, аксиоматизирующего логику I1,b.

Исчисление GI1,b (см.[5]) есть есть секвенциальное исчисление генценовского типа. Условимся, что G, D, S и Q - конечные последовательности формул (пустая последовательность формул является конечной последовательностью формул). Секвенция есть выражение вида G®D. Множество всех основных секвенций исчисления GI1,b есть множество всех секвенций вида A®A, где A есть формула. Правила вывода исчисления GI1,b – это в точности следующие семнадцать правил R1-R14, R15(b),R16, R17. Во избежание типографских трудностей, связанных с набором двумерных комплексов формальных выражений, мы формулируем поименованные выше правила, используя не стандартное двумерное их представление, но одномерное (линейное) представление соответствующих упорядоченных пар секвенций и соответствующих упорядоченных троек секвенций. Мы используем жирную запятую , в качестве знака, отделяющего секвенции друг от друга 

x1,b),удовлетворяющее следующим условиям: (1) x1,b есть отображение декартова произведения Form x Val1,b во множество {1,0}, (2) для всякой квазиэлементарной формулы Y из Qb и для всякой I1,b-оценки v: x1,b(Y, v) = v(Y),

(3) для всяких формул A, B и для всякой I1,b- оценки v: x1,b(A&B, v) = 1 тогда и только тогда, когда x1,b(A) = 1 и

x1,b(B) = 1, (4) для всяких формул A, B и для всякой I1,b- оценки v: x1,b(AÚB, v) = 1 тогда и только тогда, когда

x1,b(A, v) = 1 или x1,b(B,v) = 1, (5) для всяких формул A, B и для всякой I1,b- оценки v: x1,b(AÉB, v) = 1 тогда и только тогда, когда x1,b(A, v) = 0 или x1,b(B, v) = 1, (6) для всякой формулы A, которая не является квазиэлементарной формулой длины меньше b, и для всякой I1,b-оценки v: x1,b(ØA, v) = 1 тогда и только тогда, когда x1,b(A, v) = 0. Формулу A называем I1,b-общезначимой тогда и только тогда, когда для всякой I1,b-оценки v

x1,b(A, v) = 1.

Доказаны следующие теоремыT10 и T11.

T10. Для всякого j из {1, 2, 3,…w}, для всякой формулы A ,для всякого множества G формул: формула A выводима в HI1,j из G тогда и только тогда, когда для всякой I1,j-оценки v верно, что если для всякой формулы B из

G x1,j(B, v) = 1, то x1,j(A, v) = 1.

T11. Для всякого j из {1, 2, 3,…w} и для всякой формулы A: A Î I1,j тогда и только тогда, когда формула A is I1,j-общезначима.

Подчеркнем,      что     предложенная     семантика     удовлетворяет     требованиям,     которые     признаются необходимыми в [1]: (1) высказывание не может быть сразу истинным и ложным, (2) в общем случае значение высказывания, являющегося отрицанием высказывания s, не определяется однозначно значением высказывания s. Сконструируем I1,g-кортежную семантику для  I1,g. Под I1,g-кортежем  понимаем упорядоченную g+1-цу элементов из {1,0}, удовлетворяющую условию: если a и b являются в ней соседними членами, то a=1 или b=1. Выделенным I1,g-кортежем называем I1,g-кортеж, первый член которого есть 1. Через S1,g обозначаем множество всех I1,g-кортежей, а через D1,g обозначаем множество всех выделенных I1,g-кортежей. Нормальным I1,g-кортежем называем такой I1,g-кортеж, в котором любые соседние члены различны. Единичным I1,g-кортежем называем нормальный I1,g- кортеж, первый член которого есть 1. Нулевым I1,g-кортежем называем нормальный I1,g- кортеж, первый член которого есть 0.

Ясно, что существует единственный единичный I1,g-кортеж (обозначаем его через 1g) и существует единственный нулевой I1,g- кортеж (обозначаем его через 0g). Можно доказать, что существует единственная бинарная операция на S1,g (обозначаем ее через &1,g), удовлетворяющая для всяких X и Y из S1,g следующему условию: если первый член I1,g- кортежа X есть 1 и первый член I1,g- кортежа Y есть 1, то X&1,gY есть 1g; в противном случае X&1,gY есть 0g. Можно доказать, что существует единственная бинарная операция на S1,g (обозначаем ее через V1,g), удовлетворяющая для всяких X и Y из S1,g следующему условию: если первый член I1,g- кортежа X есть 1 или первый член I1,g- кортежа Y есть 1, то X V1,gY есть 1g; в противном случае X V1,gY есть 0g. Можно доказать, что существует единственная бинарная операция на S1,g (обозначаем ее через É1,g), удовлетворяющая для всяких X и Y из S1,g  следующему условию: если первый член I1,g- кортежа X есть 0 или первый член I1,g- кортежа Y есть 1, то X É1,gY есть 1g; в противном случае X É1,g Y есть 0g. Можно доказать, что существует единственная унарная операция на S1,g (обозначаем ее через Ø1,g), удовлетворяющая для всякого I1,g- кортежа следующему условию: если xg+1 есть 1, то Ø1,g() = , а если xg+1 есть 0, то Ø1,g() = .

Очевидно, что есть логическая матрица. Эту логическую матрицу обозначаем через M1,g и называем I1,g-матрицей. Называем M1,g-оценкой отображение множества всех пропозициональных переменных языка L в S1,g. Множество всех M1,g-оценок обозначаем через ValM1,g. Можно доказать, что существует единственное отображение (обозначаем его через xM1,g), удовлетворяющее следующим условиям: (1)

xM1,g   есть отображение декартова произведения Form  x ValM1,g      в S1,g, (2) для всякой  пропозициональной

переменной p языка L и для всякой M1,g-оценки w xM1,g(p, w) = w(p), (3) для всяких формул A, B и для всякой M1,g-оценки w xM1,g(A&B, w) = xM1,g(A, w) &1,g xM1,g(B, w), (4) для всяких формул A, B и для всякой M1,g-оценки w  xM1,g(AÚB, w) = x1,g(A, w) Ú1,g xM1,g(B, w), (5) для всяких формул A, B и для всякой M1,g-оценки w  xM1, g(AÉB,

w) = xM1,g(A, w) É1,g xM1,g(B, w), (6) для всякой формулы A и для всякой M1,g-оценки w xM1,g(ØA, w) = Ø1,gxM1,g(A, w).

Называем формулу A M1,g-общезначимой, если для всякой M1,g-оценки w xM1,g(A, w) Î D1,g. Доказаны следующие теоремы T12-T14.

T12. Для всякого j из {1, 2, 3,…}, для всякой формулы A и для всякого множества G формул: A выводима в HI1,j из G тогда и только тогда, когда для всякой M1,j-оценки w верно, что если для всякой формулы B из G xM1,j(B, w) Î D1,j , то xM1,j(A, w) Î D1,j.

T13. Для всякого j из {1, 2, 3,…} и для всякой формулы A: A Î I1,j тогда и только тогда, когда A есть M1,j- общезначимая формула.

T14. Для всякого j из {1, 2, 3,…} и для всякой формулы A: A есть M1,j-общезначимая формула тогда и только тогда, когда для всякой M1,j-оценки w xM1,j(A, w) = 1j.

Следующие теоремы T15-T21 доказаны с использованием предложенных здесь аксиоматизаций и семантик.

T15. Для всяких j и k из {1, 2, 3,… w}: если j ¹ k, то I1,j ¹ I1,k.

T16. Для всякого j из {1, 2, 3,… w} позитивный фрагмент логики I1,j равен позитивному фрагменту логики I1,0.

T17. Для всякого j из {1, 2, 3,… w} логика I1,j разрешима.

T18. Для всякого j из {1, 2, 3,…} логика I1,j имеет конечную характеристическую логическую матрицу. T19. Логика I1,w не имеет конечной характеристической логической матрицы.

T20. Логика I1,w есть пересечение всех логик I1,1, I1,2, I1,3,…

T21. Множество всех логик, каждая из которых включает I1,w и включается в I1,1, континуально.

Список литературы

1.     Васильев Н.А. Воображаемая (неаристотелева) логика // Васильев Н.А. Воображаемая логика.Избранные труды. – М.: Наука. 1989. С. 53-94.

2.     Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. Наука. M., 1967. С. 9-74.

3.     Попов В.М. Две последовательности простых паранепротиворечивых логик // Логические исследования. Вып. 14. M., 2007. С. 257-261.

4.     Попов В.М. Интервалы простых паралогик //Смирновские чтения по логике. Материалы V конференции, 20-22 июня 2007, Москва. 2007. С. 35-37.

5.     Попов В.М. Секвенциальные аксиоматизации простых паралогик // Логические исследования. Вып.16. ИФРАН. M.-С.-Пб.: ЦГИ, 2010. P.205-220.

6.     Попов В.М. Семантическая характеризация паранепротиворечивых логик I1,1, I1,2, I1,3,... // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы XI научной конференции. Санкт- Петербург, Июнь, 24-26. С.-Пб., 2010. С. 366-368.

7.     Arruda A.I. On the imaginary logic of N.A. Vasil'ev //Proceedings of Fourth Latin-American Symposium on Mathematical Logic. North-Holland, 1979. P.1-41.

8.     Kleene. S.C. Introduction to Metamathematics. Ishi Press International, 1952.

9.     Popov V.M. On the logic related to A. Arruda's system V1// Logic and Logical Philosophy. Vol.7. 1999. P.87-90.

10. Sette A.M. On the propositional calculus P1 // Math. Jap., Vol.18, №3, 1973.P.173-180.