10 марта 2016г.
В классической механике движения твердых тел относительно неподвижной точки большое внимание уделяется так называемым интегрируемым случаям Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, в которых уравнения движения имеют первые интегралы, позволяющие сократить порядок дифференциальности системы до единицы. В данной работе ставится задача определения влияния вязкой жидкости, находящейся в полости твердого, тела на его динамику в интегрируемых случаях. Решение подобных задач является актуальным, в связи с развитием ракетно-космической техники. Движение большинства элементов космических систем моделируется движениями твердых тел, систем твердых тел или твердых тел с жидкостью. Многие космические аппараты (КА) являются динамически симметричными, а их пространственное движение вокруг центра масс рассматривается как движение вокруг неподвижной точки, в том числе и под действием гравитационного момента. Эти условия во многом описываются интегрируемыми случаями.
В статье описывается получение математической модели движения твердого тела с вязкой жидкостью и вывод аналитических зависимостей, позволяющих проводить анализ движения.
Математическую модель движения произвольного твердого тела с вязкой жидкостью составим на основании метода, изложенного Черноусько Ф.Л. в работе [4]. Динамические уравнения движения примут вид:
Для случая Ковалевской получены
аналогичные результаты.
Численное интегрирование уравнений движения
показало, что движения систем
с жидкостью и без неѐ сходны, а, следовательно, для исследования движения возмущѐнных систем можно применить асимптотические методы хотя бы на начальном
этапе движения.
Для аналитического решения динамической системы (1) воспользуемся методом
Пуанкаре [2]. Согласно методу, точное решение
системы аппроксимируется своим разложением в ряд по степеням
малого параметра:
В данном случае ограничимся точностью аппроксимации порядка
ε, то есть оставим в (4) только первые два слагаемых и подставим их в динамическую систему.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим порождающую систему и систему
для поправок.
Порождающая система выглядит
следующим образом:
Из графика видно, что аналитическое решение
довольно хорошо совпадает
с численным на начальном интервале времени, что соответствует теории метода Пуанкаре.
Таким образом,
в статье приведены математические модели движения твердого
тела с вязкой жидкостью, в том числе и в интегрируемых случаях; проведено
сравнение движения твердого тела с жидкостью
и без жидкости;
получены приближенные аналитические зависимости параметров движения твердого тела с вязкой жидкостью от времени.
Разработанные математические модели могут применяться для описания движения
КА, содержащих
вязкую жидкость, а найденные
аналитические решения представлены в достаточно общем виде, что определяет возможность использования их в различных областях
науки и техники.
Список литературы
1.
Маркеев, А.П. Теоретическая механика: Учеб. пособие для университетов [Текст]/А.П. Маркеев. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 416 с.
2.
Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики [Текст]
/ Н.Н. Моисеев // М.: Наука. – 1969.– 380 с.
3. Черноусько, Ф.Л. Движение
твѐрдого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость [Текст]/Ф. Л. Черноусько. – М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1968. –286с.
4. Алексеев, А.В. Приведение спутника-гиростата с полостью
с жидкостью к системам твердых тел с вязким трением [Текст]
/ А.В. Алексеев,
А.В. Дорошин // Общероссийский научно-технический журнал «Полѐт». – 2007. – № 9. – С. 26-33.
