КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННЫЙ МЕТОД УСЛОВНОЙ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ СЕТИ

Аннотация: Для определения оптимальных диаметров гидравлической сети минимизируется функционал с ограничениями в многомерном пространстве диаметров и давлений. Предлагаемый метод минимизации основан на численном решении нестационарной краевой задачи с уравнениями конвективной диффузии. Приведен пример с расчетом оптимальных диаметров гидравлической сети.

Ключевые слова: конвективно-диффузионный метод, гидравлическая сеть, условная минимизация; многомерная нелинейная оптимизация.

Введение.

Одной из основных задач при проектировании трубопроводных систем для перемещения веществ является выбор оптимальных диаметров. Для разветвленной системы трубопроводов расчет оптимальных диаметров можно свести к решению задачи минимизации объема при заданных ограничениях:

где V – объем трубопровода; d – вектор диаметров участков трубопровода; Qi , hi – объемный расход и напор для

потребителей; ai, bi, – константы, m – количество потребителей.

Решение задач условной оптимизации [4],[6] затрудняется из-за нелинейности ограничений и многомерности функций. Минимизацию с ограничениями сводят к безусловной минимизации некоторого функционала, который обычно является многоэкстремальным и имеет ―овражную‖ поверхность. Несмотря на большое количество публикаций о методах многомерной минимизации, в том числе о стохастических методах [2] основанных на концепции вероятности, вопрос о выборе метода остается актуальным.

Следует отметить, что гидравлический расчет трубопроводов  со сложной топологией также является непростой задачей, так как основан на итерациях независимо от применяемого метода решения [1],[3],[5].

Таким образом, получается, что в процессе итеративной минимизации объема V(d) при разных диаметрах d требуется непрерывное выполнение внутренних итераций с гидравлическими расчетами для определения расходов и давлений в узлах. Ясно, что в этом случае общее количество итераций будет равно произведению количеств внешней и внутренней итераций.

В данной статье для поиска оптимальных диаметров выполняется глобальная минимизация функционала в многомерном пространстве координат векторов d и  h  при заданных  ограничениях. Для многомерной минимизации применяется метод, который основан на решении нестационарной краевой задачи с уравнениями конвективной диффузии.

Конвективно-диффузионный метод условной минимизации

Изначально автором данной статьи был разработан метод безусловной минимизации для решения обратных задач диффузии и химической кинетики [7],[8]. В статье [9] этот метод был обобщен для минимизации с ограничениями в виде равенств и применен для расчета оптимальных диаметров разветвленного трубопровода.

Физическая интерпретация метода

Процесс минимизации является аналогом физического процесса конвективно-диффузионного перемещения частиц c концентрацией c многокомпонентного потока в канале, соответствующем функциям ограничений g(c), со скоростями прямо-пропорциональными координатам градиента целевой функции  f(c) с противоположным знаком. Концентрации c одновременно являются координатами многомерного пространства (Рисунок 1).

Рассмотрим задачу, в которой требуется рассчитать оптимальные диаметры трубопроводов для подачи жидкости потребителям по схеме, приведенной на Рисунке 3 с заданными напорами h0, h2, h4 и расходами Qout,2, Qout,4 для потребителей.

Количество итераций в каждом случае не превышало 70. Наилучшие результаты получаются при 𝛼 = 0,588. Ниже представлены результаты расчета при данном значении 𝛼. Значения искомых параметров находятся в точке 6 (Рисунок 5).

Выводы.

Для определения оптимальных диаметров гидравлической сети минимизируется функционал с ограничениями в многомерном пространстве диаметров и давлений. Результаты численного эксперимента с применением конвективно-диффузионного метода условной минимизации подтверждают применимость данного подхода.

Список литературы

1.     Simpson A.R., Elhay S. The Jacobian for solving water distribution system equations with the Darcy-Weisbach head loss model. б.м. : Journal of Hydraulic Engineering,American Society of Civil Engineers, 2011 r. Vol. 137, No. 6, June, 696-700.

2.     Vaz A.I.F., Vicente L.N. A particle swarm pattern search method for bound constrained global optimization. Journal of Global Optimization, 2007, vol. 39, no. 1, pp. 197-219.

3.     Белова О.В., Волков В.Ю., Скибин А.П. Метод контрольного объема для расчета гидравлических сетей. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 5. http://engjournal.ru/catalog/machin/vacuum/764.html.

4.     Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. Пер. с англ. М. : Радио и связь, 1987, 400с.

5.     Исаенко С.А., Медведева В.Н., Щербашин Ю.Д. Оптимизация расчета гидравлических сетей с висящими узлами. Восточно-Европейский журнал передовых технологий, 2010 r. №4(44),том 2.

6.     Пантелеев А.В., Летова Т.А. Методы оптимизации в примерах и задачах. М. : Высшая школа, 2005.

7.     Федоров В.В. Метод конвективно-диффузионной глобальной минимизации для многопараметрической идентификации математических моделей. Вектор науки ТГУ. Тольятти, 2012 r., 3(21), с.46-48.

8.     Федоров В.В. Новый конвективно-диффузионный метод глобальной минимизации для решения обратных задач химической кинетики. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн., 2013 r., 4,DOI: 10.7463/0413.0569246.

9.     Федоров В.В. Минимизация с ограничениями в виде равенств с помощью уравнений конвективной диффузии. Вектор науки ТГУ.Тольятти, 2014 r. 2(28), с.21-25.