Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

ЭКОЛОГИЯ И ТРЕУГОЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ

Авторы:
Город:
Москва
ВУЗ:
Дата:
12 марта 2016г.

В наших исследованиях задача об изучении свойств разностных уравнений (одномерных унимодальных отображений) возникла при описании динамики численности животных в рамках математических моделей тундровых популяций и сообществ » [Глушков и др., 2013; Саранча, 1997]. Анализ результатов вычислительных экспериментов с взаимодополняющими моделями сообщества «растительность–лемминги–песцы» и популяции леммингов с учетом возрастной  структуры привел к  обоснованию упрощенной модели  в виде разностного уравнения:



Здесь P – прирост биомассы леммингов в благоприятный год; величина d – нормированная биомасса леммингов в оптимальном биотопе (понятие “оптимальный биотоп” было введено в работах [1, 2] и подразумевает область пространства обитания с оптимальными условиями проживания; в оптимальном биотопе при любых условиях выживает определенное число зверьков), коэффициент r – характеризует изменение биомассы леммингов в условиях нехватки кормов в весенний период. Будем далее называть величину d ступенькой.

Разностные уравнения является одним из популярных объектов, иллюстрирующих богатство динамических режимов в простых системах. Получены такие результаты как «порядок Шарковского», каскады удвоений длины [Шарковский, 1964; Шарковский, 1982]. В данном сообщении проведено исследование уравнений, полученных при описании динамики численностей животных.

На Рисунке 1 [Недоступов и др, 2010 ] представлены результаты вычислительных экспериментов, проведенных с уравнением (1) при Р = 2 и r = 100. Характер динамических режимов исследовался при изменении параметра d от 1 до 0. На Рисунке 1 можно выделить зоны стабильности, которые отделены переходными зонами со сложными режимами (черные вертикальные полосы).

Период траектории при данном d визуально определяется на Рисунке 1 следующим образом: проводится вертикаль от некоторого фиксированного значения на оси абсцисс, количество пересечений этой вертикали с траекторией определяет период траектории при данном d.

Исследования треугольного отображения

Циклы кратной длины в треугольном отображении Базовые утверждения.

1.     Две периодические траектории не имеют общих точек, если они не тождественны друг другу. (Множества точек, принадлежащих разным циклам, не пересекаются).

2. Все точки, входящие в периодические траектории F(1), являются стационарными точками F(n).

3.    При этом, все стационарные точки F(n) (исключая две, характеризующие стационарные значения) являются точками циклов длины n для F(1) только в том случае, если n – простое число.

Если n составное, то из общего числа стационарных точек, равного 2n, надо вычесть числа точек, принадлежащих циклам длины ni, где ni – делители n, включая 1. Оставшееся подмножество стационарных точек F(n) входят в циклы периода n.

Число точек, принадлежащих "истинным" циклам периода n:





Формула (7) показывает, что зависимость j от i линейная.

Наличие члена r(k), равного 1 при нечётных k отражает тот факт, что при нечётных k при увеличении i на 1 чётность j(i) меняется: нечётным i соответствуют нечётные j, а чётным i соответствуют чётные j. В случае чётного k r(k) равно 0, чётность сохраняется и j принимает только нечётные значения при всех i.

Это означает, что при соприкосновении треугольников, отвечающих кратным циклам, существует следующая закономерность. Когда отношение периодов число нечётное, то области на биссектрисе, соответствующие меньшему треугольнику (больший цикл) всегда внутри большего треугольника (меньший цикл). Когда отношение периодов чётно, то при пересечении нечётных сторон, область внутри меньшего треугольника находится внутри большего треугольника, а при пересечении чётной  стороны большего треугольника с нечётной стороной меньшего треугольника область внутри меньшего треугольника находится снаружи.

Работа выполнена при финансовой поддержке ОМН-3.

 

 

Список литературы

1.     Глушков В.Н., Саранча Д.А.. Комплексный метод математического моделирования биологических объектов. Моделирование тундрового сообщества // Автоматика и телемеханика. 2013. №2. С. 94 -108.

2.     Недоступов Э.В., Саранча Д.А., Чигерев Е.H., Юрезанская Ю.С.  О некоторых свойствах одномерных унимодальных отображений // ДАН. 2010. Т. 430. №1. C. 23-28.

3.     Саранча  Д.А.  Количественные  методы  в  экологии.  Биофизические  аспекты  и  математическое моделирование. М.: МФТИ, 1997, 283 с.

4. Шарковский А.М. //Укр.мат.журн. 1964. Т.16. №1. С. 61-65.

5.     Шарковский А.М. Разностные уравнения и динамика численности популяций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 22 с.