09 марта 2016г.
В математической логике и теории множеств имеется весьма существенный момент, связанный с обоснованием как понятия множества, так и первичных понятий логики. Автор обратил на это внимание в [1]. Там же предложен некоторый выход, основанный либо на понятии алгорифма, либо на развитии логики теории множеств, а лишь затем построение «полного» варианта математической логики и развитие на его основе теории множеств и оснований «содержательной» математики. Настоящая заметка развивает методологические идеи работы [1] путѐм построения натуральных чисел в рамках некоторой аксиоматики, аналогичной теории множеств Цермело – Френкеля [2]. Однако, необходимость использования некоторых «первичных» символов при описании аксиоматической системы, требует введения аналогов натуральных чисел, имеющих «наглядный вид». Это приводит к понятию прачисла, положенному в основу изложения.
1. Прачисла.
Определение 1.1. Прачисло – это объект вида:
• пустое слово («пустое место», слово, не содержащее ни одного символа, не занимающее место, пустой объект). Будем обозначать всевозможные пустые объекты (слова), встречающиеся в дальнейшем буквой L ;
• если x есть прачисло, то объект
• других прачисел нет.
x | является прачислом;
Введѐм для прачисел обозначения: 0 = L , 1 = 0 |=| , 2 = 1 | , 3 = 2 |K .
Отметим, что хотя мы обозначаем прачисла теми же символами, что и натуральные числа, разница между этими объектами существенна. Даже вводимые далее алгебраические операции и отношения равенства и порядка не превращают прачисла в «полноценные» натуральные числа.
Прачисло является конструктивным (строимым) объектом. Поскольку прачисла строятся рекурсивно - от простого к сложному -, для них справедлив принцип возвратной математической индукции: если из
справедливости некоторого свойства для всех прачисел строго меньших некоторого прачисла x , вместе с
предположением о справедливости этого свойства для прачисла 0 докзуема справедливость его для прачисла
x , то свойство справедливо для всех прачисел.
Обоснование этого принципа получается из рекурсивности построения прачисел. Благодаря этому выполнение свойств прачисел можно проследить на каждом шаге его построения. И, если из того, что для предшествующих при построении прачисел следует сохранение свойства для данного числа, то свойство это переносится на один шаг. Поскольку все шаги независимы, проводить доказательство для каждого шага нет
необходимости. Это и есть принцип возвратной индукции. Большинство приводимых в заметке утверждений доказывается с помощью этого принципа по некоторому параметру.
Определение 1.2. Рекурсией по строению определим равенство прачисел:
• любые два пустых объекта равны, то есть 0 = 0 ;
• x |= y | тогда и только тогда, когда x = y .
Теорема 1.1. Отношение равенства обладает свойствами:
• x = x ;
• если x = y , то y = x ;
• если x = y и y = z , то x = z для любых прачисел x, y, z .
