ОСОБЕННОСТИ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА ПОВЕДЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Аннотация:

Проблема исследования колебаний, возникающих в механических системах, не только весьма актуальна, но и жизненно необходима, особенно если механическая система попадает в экстремальные условия эксплуатации. Для исследования одной механической системы применяется способ построения методов расчета и компьютерных вычислений, учитывающих возможные изменения свойств решений этой системы при равносильных (эквивалентных) преобразованиях.  Объектом исследования, в общем, при таком подходе являются идеальные знаковые модели динамических систем, представленные в виде математических выражений (систем уравнений), связывающих физические величины, количественно описывающие состояние этих систем. Основой методики исследования является рассмотрение моделей реальных динамических систем в различных формах записи уравнений их описывающих и определение параметров, малые изменения которых могут привести к изменению качества поведения динамической системы. Основной целью статьи является выявление параметров рассматриваемой динамической системы, малые изменения которых приводят к потере устойчивости, забросу или перерегулированию этой систем в процессе ее функционирования. Выводы, к которым приводит настоящее исследование, еще раз подтверждают на конкретном примере необходимость рассмотрения видов моделей динамических систем еще на этапе их математического моделирования.

Ключевые слова:

Модель, инженерные расчеты, компьютерные вычисления, устойчивость, управление, стабилизация, некорректные системы (ill-posed systems).

Введение:

Рассмотрение идеальных знаковых моделей динамических систем, в частности математических, без их всестороннего анализа и идеализации математики самой как универсального средства познания, может приводить к нештатному функционированию этих динамических систем, что проявляется на практике в виде аварий и техногенных катастроф [1], [51],[52]. Причиной большинства таких вначале не объяснимых случаев списывают на человеческий фактор. Такую причину, по нашему  мнению, можно будет впоследствии почти полностью исключить, если математические модели конструируемых динамических систем будут рассматриваться совместно со своими модификациями, полученными методом равносильных (эквивалентных) преобразований [50]. Таким образом, может быть в будущем, еще на этапе математического моделирования динамических систем, удастся предотвращать причину большинства таких случаев. Дело в том, что в некоторых особых случаях эти равносильные (эквивалентные) преобразования математических моделей динамических систем могут изменять важные свойства этих решений. Такими свойствами, без сомнения, являются непрерывная зависимость решений от параметров, сохранение устойчивости решений при малых изменениях параметров и т.д. При этом сами решения уравнений исходных математических моделей динамических систем не изменяются как таковые. В технической литературе известны такие математические модели динамических систем, решения которых изменяются на конечные и, даже, на большие величины при сколь угодно малых вариациях параметров, неизбежных на практике.

Определение: Некорректными системами (ill-posed systems) будем называть те, решения уравнений математических моделей которых изменяются на конечные величины при сколь угодно малых вариациях коэффициентов и параметров этих математических моделей [1].

Методы:

Методика проектирования и расчета технических систем  до конца ХХ века считалась хорошо разработанной и надёжной, но в два последних десятилетия начали происходить вначале не объяснимые техногенные аварии и катастрофы, которые, как мы уже сказали, впоследствии определялись как человеческий фактор. Объяснением того факта, что классические методы проектирования и расчета технических систем начали давать ошибочные результаты может быть хотя бы то, что технические системы в последнее время начали эксплуатироваться в запредельных режимах и запас устойчивости, заложенный в них тем самым был исчерпан. Кроме того, остается открытым вопрос об адекватности применяемых моделей для описания проектируемых динамических систем, когда использование расширенного диапазона переменных может приводить  линейные или линеаризованные системы  уравнений к существенно нелинейным. Даже при использовании существующих математических моделей динамических систем расследование причин аварий и катастроф требует тщательного исследования всех этапов создания и эксплуатации технической системы, включая ее проектирование.

1. Параллельное исследование системы при равносильных (эквивалентных) преобразованиях. В статьях [1], [5], [7], [51], [52] указывается на опасность использования "некорректной системы" проектируемого технического управляемого объекта или этого объекта с "некорректным равносильным преобразованием".  Следует  отметить,  что  указанные  "некорректные  системы"  и  "некорректные равносильные преобразования" встречаются много реже обычных и поэтому на них долго не обращали внимания ввиду того, что режимы функционирования таких систем на практике пока не давал такого количества аварий и катастроф. Не смотря на это, в отдельных публикациях авторы обращали внимание на такие системы и возможные негативные последствия [2], [3], [4]. Не хотелось бы встречать публикации в средствах массовой информации о новых    авариях  и катастрофах, если мы сможем уже сейчас,  при проектировании системы, распознать будущую возможную проблему и предотвратить их. Для этого необходимо использовать усовершенствованные (актуальные на сегодняшний день) методы расчета, учитывающие   возможные  изменения  свойств решений при  равносильных  (эквивалентных) преобразованиях. В [4] проблема исследования корректных, некорректных и промежуточных систем рассматривается наиболее полно с точки зрения возникновения этих проблем при решении математических задач систем линейных алгебраических уравнений, систем обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

2. Дополнительное исследование системы в нормальной форме Коши.

Дополнительное исследование некорректной системы, связанная с необходимостью учитывать возможные ошибки в расчетах, будем проводить с помощью теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что существуют системы уравнений, решения которых зависят от параметров непрерывно, и поэтому малым изменениям параметров соответствуют малые изменения решений. Однако существуют и другие системы, в которых этой непрерывной зависимости нет. Использование в расчетах при проектировании реальных технических объектов таких систем ведет к ошибкам расчета и, как последствие, - возможно к авариям. Для отличия таких систем друг от друга повсеместно используется известная теорема о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от параметров, которая лежит в основе практических приложений. Согласно теории обыкновенных дифференциальных уравнений, по этой теореме для сохранения непрерывности необходимо и достаточно, чтобы правые части были ограничены и удовлетворяли условиям Липшица. К сожалению, в общем случае эта теорема не  верна. Способ избежать такой методической ошибки при проектировании конкретной технической системы покажем на примере.

Результаты исследования:

Для иллюстрации примера нарушения теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от параметров рассмотрим следующую систему

Обсуждение результатов:

Причина методической ошибки состоит в том, что доказательство теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от параметров проводится для систем уравнений, записанных в нормальной форме Коши. В этом случае теорема бесспорно справедлива. Далее большинство исследователей ввиду того, что практически любую систему дифференциальных уравнений можно равносильными (эквивалентными) преобразованиями привести к той или иной нормальной форме Коши, делает ошибочный вывод, что теорема о непрерывной зависимости решений дифференциального уравнения от параметров справедлива и для всех систем, в том числе и записанных не в нормальной форме. Дело в том, что само такое равносильное (эквивалентное) преобразование системы дифференциальных уравнений в нормальную форму может изменять такое свойство системы, как непрерывная зависимость решений от параметров и коэффициентов.

Что же будет происходить с реальным техническим объектом, математическими моделями которого могут служить равносильные системы (1) и (2) с одинаковыми решениями? Этот вопрос детально рассмотрен в [52]. На практике же все, как правило, зависит от того, какая система (1) или (2) более точно отражает особенности конкретного объекта. Если объект, как в нашем случае, имеет три простых обратных связи, то его поведение лучше описывает система (2). Если же объект имеет одну сложную обратную связь (включающую производные переменных x 1 и x 2 ), то его поведение при малых отклонениях параметров от расчетных значений описывается системой (1). Если в идеальном случае параметры технического объекта точно равны своим расчетным значениям, то обе системы уравнений и (1) и (2) описывают систему одинаково, поскольку они равносильны. Переход к исследованию математической модели объекта в нормальной форме, дает исследователю необоснованную уверенность, в том, что объект устойчив. Следуя методической ошибке, указанной выше, такой исследователь будет уверен, что объект будет и в дальнейшем в процессе эксплуатации сохранять устойчивость, даже при неизбежных малых отклонениях параметров объекта от расчетных значений. Покажем, что поведение технического объекта на практике будет гораздо сложнее, чем мы можем описать при помощи первоначальной модели. Если реальное значение указанного параметра m не будет сохранять точное значение, равное единице (m=1), а будет равно m = 1- ε, где ε – некоторая малая положительная величина (ε > 0), то объект будет сохранять устойчивость и, поэтому, работать исправно, и использован потребителем. Поскольку ε – малая величина, и ее малые вариации при эксплуатации неизбежны. Поэтому значение ε может измениться от ε > 0 к ε < 0 и тогда объект потеряет устойчивость, что может стать причиной неправильной его эксплуатации, или аварии, или даже катастрофы.

При построении реальных технических систем, использующих при расчетах устойчивости функций Ляпунова, может приводить к ошибкам, аналогичным вышеизложенным. Только применение указанного выше метода при решении задачи устойчивости динамических систем будет указывать на то, есть или нет у рассматриваемой системы возможные неустойчивые режимы, потому что существование у исследуемой системы дифференциальных уравнений функции Ляпунова ещё не гарантирует реальной устойчивости. В общем случае для исследуемой системы необходимы дополнительные проверки. В следующих публикациях о решениях задач устойчивости для динамических систем [17], [18], [33], [34], [38], [45], [47], [48], [50], [53] приводятся примеры реальных технических систем. Для этих технических систем так же необходимо проведение указанных дополнительных проверок. Иначе, без этих проверок можно прийти к ошибочному заключению о сохранении устойчивости системы при малых изменениях параметров.

При решении задачи стабилизации динамических систем применение указанного выше метода также будет иметь особенность. Она заключается в том, что решение задач стабилизации динамических систем и их практическая реализация должна быть откорректирована. Рассмотренная в публикациях [21], [22], [23] [24], [31], [39], [42], [53] практическая реализация стабилизации динамических систем должна рассматриваться совместно с аналогичными задачами относительно равносильных (эквивалентных) систем к рассмотренным. Постановка задачи стабилизации программного движения или кинематической траектории динамической системы имеет более общий характер, а, следовательно, и более общее применение, чем устойчивость по Ляпунову. Не смотря на это, вышеуказанные факторы будут иметь влияние на время переходных процессов и периоды возникающих колебаний. Необходимость дополнительных проверок по методике, изложенной выше, становится очевидной, если мы используем их в первую очередь для уточнения областей возможной стабилизации реальных динамических систем и повышения их точности, что впоследствии также сможет предотвратить аварии или катастрофы. В [53] приводятся общие подходы к решению проблем устойчивости и стабилизации динамических систем.

При определении колебательных и волновых процессов в динамических системах применение вышеуказанного метода будет опираться на факт возникновения таких процессов, как в самих динамических системах, так и в их системах управления. Колебательные и волновые процессы могут возникать и в системах, описывающих медицинские и биологические объекты. В медицинских и биологических объектах обычно описывается колебание около некоторого среднего – возможно недостижимой точки равновесия для биологической системы или нормы для медицинского объекта, или той или иной формы патологии для него. Во всех этих случаях возможно так же использование устойчивости по Ляпунову для систем в нормальной форме, и так же, как говорилось выше, получение указанной выше методической ошибки. При рассмотрении динамических систем согласно моделям, описанных в публикациях [9], [11], [13], [19], [28], [37], [41], [43] так же необходимо рассматривать дополнительные системы дифференциальных уравнений, согласно методике, изложенной выше. Иначе колебательные (волновые) процессы в этих системах могут существовать физически (или аналитически), а устойчивости по Ляпунову не будет.

Применение указанного выше метода при решении задачи оптимизации динамических систем будет приводить к рассмотрению математических моделей в виде систем линейных алгебраических уравнений в силу того, что рассматриваются задачи оптимизации, имеющих описание состояния в дискретные моменты времени. Аналогично рассмотрению задачи нахождения псевдообратной матрицы, где варьируется один параметр, необходимо использовать алгоритмы, позволяющие рассчитывать влияние одного или одновременно многих вариаций параметров исследуемого объекта. В публикациях [8], [20], [25], [30], [35], [36], [44], [46], [49] приведены математические модели конкретных динамических систем, аналогичные исследования эквивалентных систем следует сделать и для них.

При решении задач определения разных видов меры динамических систем применение указанного выше метода будет определяться тем, что нам будет необходимо использовать различные виды измерений и, впоследствии, может быть, применения разных видов меры. Это определяется тем, что некоторые параметры системы напрямую неизмеримы или нам пока еще неизвестно какие измерения могут понадобиться в дальнейшем. Прямой перебор комбинаций параметров при проектировании многомерных систем, особенно в режиме реального времени, пока невозможен ввиду того, что число возможных сочетаний положительных и отрицательных вариаций равно W = 2(n² ) . Даже при n=10 это превращается в технически неразрешимую задачу. В публикациях [10], [14], [16], [26], [32], [40] приводятся разные виды меры динамических систем и способы ее определения. Впоследствии необходима разработка таких алгоритмов, которые бы позволяли при небольшом количестве вычислений находить наиболее опасные сочетание знаков вариаций для прогнозирования влияния одновременных вариаций различных параметров на поведение исследуемого объекта в процессе его эксплуатации.

Применение указанного выше метода при решении задачи оптимизации организационных систем имеет определенные особенности. Эти особенности определяется тем, что организационные системы, в отличие от механических, уравнениями механики на прямую не описываются. Связь таких параметров динамических систем, как приложенная сила или сила реакции связей, масса, положение в пространстве для организационных систем зачастую носит не явный характер, или пока не определена. Но при описании организационных систем все равно должны рассматриваться точки фазового пространства, где они находятся, и которые характеризуют их состояние. Рассмотрение таких организационных систем в дискретные моменты времени и построение линейных функционалов, характеризующих функционирование таких систем, приводит к разностным уравнениям, а при уменьшении периода наблюдения и к дифференциальным. В публикациях [12], [15], [27], [29] приводятся примеры организационных систем различного назначения. При уменьшении периода наблюдения (дискрета времени) и совершении предельного перехода, мы приходим к необходимости рассмотрения в качестве модели системы дифференциальных уравнений. Методика исследования получаемых дифференциальных уравнений аналогична вышеизложенной, а при рассмотрении разностных уравнений – такая же как и в случае алгебраических уравнений.

Заключение:

При рассмотрении математических моделей на этапе проектирования реальных динамических систем для предотвращения будущих возможных аварий и катастроф необходимо:

1.                   Рассматривать как теорему о непрерывной зависимости решений от параметров, так и альтернативный подход при проектировании реальных систем.

2.                   Проводить исследование исходной математической модели динамической системы на устойчивость при равносильных (эквивалентных) преобразованиях.

3.                   На этапе изготовления образца динамической системы или ее натурного моделирования из всего множества равносильных (эквивалентных) форм записи определить наиболее адекватную форму записи уравнений ее математической модели, которая наиболее точно отражает особенности ее функционирования.

Список литературы

1.                   Danilevich Y. B., Petrov Y. P., On the necessity of widening the conception of equivalence in mathematical models (Doklady Akademii Nauk, 2000, 371(4)), pp. 473-475.

2.                   Franklin J. N., On Tikhonov’s method for ill-posed problems (Math. Comp. 1974, 28), pp. 889-907.

3.                   Lavrentiev M. M., Some improperly posed problems of mathematical physics. (Springer-Verlag, 1967), p.72.

4.                   Petrov Yu.P., Sizikov V.S ., Well-posed, ill-posed and intermediate problems with applications. (Leiden- Boston, 2005), p. 234.

5.                   Tikhonov A., Arsenin V., Solutions of ill-posed problem. (Winston, 1977), p. 258.

6.                   Zubov A.V., Orlov V.B., Petrova V.A., Bondarenko L.A., Pupysheva G.I., “Engineering and Computer Aided Calculations upon Determination of Quality Characteristics of Dynamic Systems”. International Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 117, no 22, pp. 137-141, 2017.

7.                   Zubov A.V., Murashko A.Y., Kolyada L.G., Volkova E.A., Zubova O.A. Fidelity issue of engineering analysis and computer aided calculations in sign models of dynamic systems. Global Journal of Pure and Applied Mathematics, 2016. 12 (5): pp. 4203-4217.

8.                   Zubov A.V., Zubov S.V. Vector of control, observation, synthesis, number of entrances and exits, stucture, aggregate, coefficient, multiple. Журнал Средневолжского математического общества. 2014. Т. 16. № 1. С. 168-176.

9.                   Zubov I.V., Zubov N.V., Strekopytova M.V. Uniqueness of holomorphic solution. Системы. Методы. Технологии. 2010. № 5. С. 48-50.

10.                Авдеева М.Б., Зубов А.В. Метод понижения порядка и операция сдвига. Журнал Средневолжского математического общества, 2012. Т. 14. № 1.: С. 107-111.

11.                Авдеева М.Б., Зубов А.В. Методы наблюдения и управления динамическими системами. Учебное пособие Санкт-Петербургский гос. ун-т. Санкт-Петербург, 2011.

12.                Базеева Н.А., Зубов А.В., Зубов П.А., Зубова О.А., Демидова Д.А. Исследование коммерческой сетевой базы данных. Труды Института системного анализа Российской академии наук. 2006. Т. 25. № 1. С. 218-223.

13.                Блистанова Л.Д., Зубов А.В., Зубов И.В., Учватова Н.Н. Об автоколебании системы дифференциальных уравнений. Труды Братского государственного университета. Серия: Естественные и инженерные науки, 2010. Т. 2.: С. 160-162.

14.                Блистанова Л.Д., Зубов В.И., Зубов А.В., Стрекопытов И.С., Клемина А.А. Построение минимального многочлена и исследование устойчивости на основе метода понижения порядка. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, 2013. № 178.: С. 238-243.

15.                Бондаренко Л.А., Зубов А.В., Мурашко А.Ю. Оптимизация и управление в сложных организационных системах. Сборник научных статей по итогам международной научно- практической конференции, 2015.: с.14-18.

16.                Демидова Д.А., Зубов А.В., Зубова О.А., Радченко А.Ю. Исследование асимптотических положений покоя. Труды Петрозаводского государственного университета, 2009. № 13.: С. 82-83.

17.                Демидова Д.А., Зубов А.В., Зубова О.А., Стрекопытов И.С. Исследование устойчивости динамических систем. Труды Института системного анализа Российской академии наук, 2008. Т. 32. № 3.: С. 27-31.

18.                Дутов С.А., Зубов А.В., Зубов Н.В. Задача об устойчивости. Журнал Средневолжского математического общества, 2009. Т. 11. № 2.: С. 174-176.

19.                Зубов А.В. Аналитические свойства многомерной механической системы. Математическое моделирование: 2006. Т. 18. № 12.: С. 43-51.

20.                Зубов А.В. Исследование логических управляющих сетей в многомерных механических системах. Научно-технические     ведомости     Санкт-Петербургского     государственного     политехнического университета, 2005. № 42.: С. 105-108.

21.                Зубов А.В. Методы качественного анализа систем управления и стабилизации. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук / Вычислительный центр Российской академии наук. Москва, 2010., c 32.

22.                Зубов А.В. О стабилизации многомерной механической системы. Журнал Средневолжского математического общества, 2005. Т. 7. № 1.: С. 408-410.

23.                Зубов А.В. Стабилизация кинематических траекторий с помощью систем прямого регулирования. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем, 2004. № 6-2.: С. 57-63.

24.                Зубов А.В. Стабилизация программных движений. Научно-технические ведомости Санкт- Петербургского государственного политехнического университета. 2008. № 63. С. 110-112.

25.                Зубов А.В., Бондаренко Л.А., Ужегов Н.С. Критерии линейной независимости скалярных и векторных функций. Научно-технический вестник Поволжья, 2014. № 2.: С. 24-28.

26.                Зубов А.В., Зубов И.В., Зубов С.В., Стрекопытов И.С., Стрекопытова М.В. Аналитическая природа случайных последовательностей. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-математические науки, 2010. Т. 3. № 104.: С. 84-89.

27.                Зубов А.В., Зубов И.В., Зубов С.В., Стрекопытов И.С., Стрекопытова М.В. Аналитическая природа случайных последовательностей. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Экономические науки. 2010. № 104. С. 84.

28.                Зубов А.В., Зубов Н.В. Задачи синтеза систем управления. Труды Братского государственного университета. Серия: Естественные и инженерные науки, 2010. Т. 2.: С. 159-160.

29.                Зубов А.В., Зубов Н.В., Балахнин П.А. О системах наблюдения. Журнал Средневолжского математического общества, 2009. Т. 11. № 2.: С. 171-173.

30.                Зубов А.В., Зубов Н.В., Стрекопытов И.С. Структурная минимизация. Журнал Средневолжского математического общества, 2009. Т. 11. № 2.: С. 177-179.

31.                Зубов А.В., Зубов П.А., Зубова О.А., Королева О.А. Построение законов управления при наличии ударных нагрузок. Журнал Средневолжского математического общества, 2008. Т. 10. № 2.: С. 236- 238.

32.                Зубов А.В., Зубов П.А., Стрекопытова М.В. Несколько теорем о поведении семейств сильно сверхустойчивых матриц. Журнал Средневолжского математического общества, 2010. Т. 12. № 3.: С. 156-158.

33.                Зубов А.В., Зубов С.В., Стрекопытов И.С., Учватова Н.Н. Задача исследования устойчивости интегральных многообразий. Журнал Средневолжского математического общества, 2014. Т. 16. № 1.: С. 160-167.

34.                Зубов А.В., Зубова А.Ф., Пустовалова О.А. Условия существования интегралов системы уравнений движения. Журнал Средневолжского математического общества, 2015. Т. 17. № 1.: С. 140-144.

35.                Зубов А.В., Зубова А.Ф., Стрекопытова М.В. Методы построения выпуклых множеств коэффициентов устойчивого полинома. Журнал Средневолжского математического общества, 2014. Т. 16. № 3.: С. 94-97.

36.                Зубов А.В., Зубова О.А. Преимущества метода понижения порядка перед другими аналогичными методами. Журнал Средневолжского математического общества, 2011. Т. 13. № 4.: С. 78-79.

37.                Зубов А.В., Зубова О.А., Иванов А.И., Стрекопытова М.В. Модель скорости распространения лучей.

Труды Братского государственного университета. Серия: Естественные и инженерные науки, 2010. Т. 2.: С. 162-163.

38.                Зубов А.В., Зубова О.А., Иванова О.А., Пешехонов К.А. Исследование вопроса о существовании периодических решений. Вестник Мордовского университета, 2012. № 2.: С. 30-33.

39.                Зубов А.В., Иванова О.А., Пешехонов К.А. Методы расчетов элементов движений механических управляемых систем. Учебное пособие / А. В. Зубов, О. А. Иванова, К. А. Пешехонов; Санкт- Петербургский гос. ун-т. Санкт-Петербург, 2012.

40.                Зубов А.В., Каляда Л.Г., Нечаев А.И., Ужегов И.Г. Модификация численных методов интегрирования. Журнал Средневолжского математического общества, 2014. Т. 16. № 2.: С. 57-62.

41.                Зубов А.В., Каляда Л.Г., Нечаев А.И., Ужегов Н.С. Модификация численных методов интегрирования. Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 2013. № 178. С. 267-271.

42.                Зубов А.В., Косюг В.И., Мухин А.В. Стабилизация программного движения с помощью кусочно - постоянных управлений. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем, 2004. № 6-2.: С. 50- 56.

43.                Зубов А.В., Лебедева О.А. Модель взаимодействия видов в биологическом сообществе. Журнал Средневолжского математического общества, 2006. Т. 8. № 2.: С. 225-227.

44.                Зубов А.В., Пешехонов К.А., Стрекопытов И.С., Стрекопытова М.В. Задача построения систем дифференциальных уравнений. Журнал Средневолжского математического общества, 2013. Т. 15. № 4.: С. 196-199.

45.                Зубов А.В., Пупышева Г.И., Виташевская И.С. Уравнение для регулярного интеграла. Научно- технический вестник Поволжья, 2014. № 2.: С. 34-40.

46.                Зубов А.В., Пустовалова О.А., Стрекопытов И.С. Необходимые и достаточные условия устойчивости и неустойчивости одного класса матриц линейных операторов. Журнал Средневолжского математического общества, 2014. Т. 16. № 1.: С. 177-180.

47.                Зубов А.В., Стрекопытова М.В. Асимптотические положения покоя. Журнал Средневолжского математического общества, 2009. Т. 11. № 2.: С. 188-190.

48.                Зубов А.В., Стрекопытова О.С., Стрекопытов С.А. Метод малого параметра А. Пуанкаре. Вестник Мордовского университета, 2012. № 2.: С. 38-40.

49.                Зубов И.Н., Зубов А.В., Зубова А.Ф., Учватова Н.Н. Явный метод Эйлера построения

последовательности. Вестник Мордовского университета, 2012. № 2.: С. 174-177.

50.                Зубова А.Ф., Зубов А.В., Зубов В.И., Стрекопытова М.В. Исследование системы дифференциальных уравнений на сходимость, устойчивость и точность. Научно-технические ведомости Санкт- Петербургского государственного политехнического университета, 2013. № 183-1.: С. 327-332.

51.                Мурашко А.Ю., Зубов А.В., Орлов В.Б., Петрова В.А., Пупышева Г.И., Бондаренко Л.А., Ужегов Н.С., Коляда Л.Г., Зубова О.А., Никитин А.В. Особенности инженерных расчетов и компьютерных вычислений в некоторых знаковых моделях динамических систем. Advances in Science and Technology сборник статей IX международной научно-практической конференции. 2017. С. 81-91.

52.                Петров Ю.П., Петров Л.Ю. Неожиданное в математике и его связь с авариями и катастрофами. СПб: БХВ-Петербург, 2005.: C. 217.

53.                Петросян Л.А., Покровский А.Н., Демьянов В.Ф., Зубова А.Ф., Зубов А.В., Зубов С.В., Зубов И.В., Блистанова Л.Д., Жабко А.П., Квитко А.Н., Стрекопытова М.В., Малафеев О.А., Мутлу О.В., Чижова О.Н., Прасолов А.В., Иванов А.И., Вахнина Л.А., Зубов А.И., Зубов В.И., Клемина А.А. Кольцов И.В., Кольцова Н.И., Кудинова В.А., Стрельцова Е.В., Шастин Э.Г., Кондратьева С.И., Пам яти Н. В. Зубова. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2011. № 2. С. 97-98.